K为奇数
ak

2

2
0 iS (t ) cos ktd (t )

2Im


1 k
sin kt

0

0
AK
bK2 aK2
bK

2Im
k
（K为奇数）
K
arctan aK bK
0
i 的展开式为： s
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

1 sin5t
角频率


2
T
2 3.14 6.28 106
10 6 rad/s
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5 A
is3

100 3
sin 3 106 t
A
i
s1
is
100
100 5 5
sin106 t
sin 5 106
t
A
A
(2)对各种频率的谐波分量单独计算：
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )
例1 半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3 脉冲电路中的脉冲信号
t T
13.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量
基波
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
1
ak
2
0 f (t )cos k1td(1t)
1
bk
2
0 f (t)sin k1td(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t) （1）偶函数
－
f (t) f (t) bk 0 T/2
5
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 3
sin
3t

1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
IC11

jC1U1
120
2 0 j40

3 90 A 2
(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用
2ωL1 2000 40 103 80Ω, 2ωL2 2000 10 103 20Ω
1 2ωC1

1 2ω C 2

1 2000 25 106
1
31C

3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )

(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5

89.190
U 3

IS3 Z(31 )
i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
5
代入已知数据：
Im 157μ A, T 6.28μ s
直流分量
I0

Im 2
157 78.5μ A 2
基波最大值 I1m
三次谐波最大值 五次谐波最大值
2Im 2 1.57 100 A

I3m
1 3.14
31I1m
33.3A
I5m 5 I1m 20μA
2 sin 2 ktd(t) 0
2 cos2ktd(t) 0
（3） 三角函数的正交性
2
0 cos kt sin ptd(t ) 0
2
0 cos kt cos ptd(t ) 0
2
0 sin kt sin ptd (t ) 0
k p
2. 非正弦周期函数的有效值

若 i(t) I0 Ikm cos(kt k )
则有效值:
k 1
I 1 T i2 td(t)
T0

1 T
T 0
I0

k 1
I km
coskt
k
2 d (t )

利用三角函数的波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF
Im 157μ A、 T 6.28S
iS
R
Cu
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：iS
Im
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

T/2
T
t
1 sin 5t )
is3
is5
iS
Im
T/2 T
Akm 矩形波的频谱图
t 0 3 5 7
iS

Im 2

2Im

(sin
t

1 sin 3
3t

1 sin 5
5
t
)
例2 给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：
f(t)
(1) 正弦分量；
(2) 余弦分量；
20Ω
LI2IUU、2L22aC2d22I发6Cj022生10U2,并1L42联5U0谐Vcb6I2振20a。+Uj2220jj824005IC61202cU310342d5IjL2Vj2220045_Ab
所求的电压、电流的瞬时值为：
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率

u(t ) U0 U km cos(kt uk )
k 1

i(t ) I0 Ikm cos(kt ik )
1
k 1
T
P T
0
u idt
利用三角函数的正交性，得：

P U0I0 Uk Ik cosk (k uk ik )
(3) 正弦偶次分量； O T/4 t (4) 余弦奇次分量。
试画出 f(t) 的波形。
解 (1) 正弦分量； f(t)
T/2 T/4
O T/4 T/2 t
(2) 余弦分量；
f(t)
T/2 T/4
O T/4
f(t) (3) 正弦偶次分量；
T/2 T/4
O T/4
f(t) (4) 余弦奇次分量。
I
I
2 0

k 1
I
2 km
2
I
I
2 0

I12

I
2 2


结论
周期函数的有效值为直流分量及各
次谐波分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值

若 i(t) I0 Ik cos(kt k ) 则其平均值为： k 1
I AV
1 T
T
0 i(t )dt I0
U1

5000mV 2
U 3

12.47 2


89.2
mV
U 5

4.166 2


89.53 mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000 sin t
12.47 sin( 3t 89.2 )
4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
0
0 t T 2
T tT
t T/2 T

2
1
直流分量：IO T
T
1
0 iS (t) dt T
T /2
0 Imdt

Im 2
谐波分量：bK
1

Im ( 1 cos
k
2
0 iS (
k
t
)

0
t)

sin k

2
0 Im
k
td ( t)
K为偶数
A2m cos(21t 2 )
二次谐波 （2倍频）
Anm cos(n1t n ) 高次谐波

f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
12.47
106 33.3
2
89.20 mV
374.5

89.190
2
(d)五次谐波作用
1
is5
100 15
sin 5 106
t
A
51C 5 106 1000 1012 0.2(KΩ)
51L 5 106 103 5kΩ
Z (5 1
t T/2
（2）奇函数
f(t)
f (t) f (t)