用相关点代入法求轨迹方程
【例 3】 如图所示，已知 P(4,0) 是圆 x2 ＋ y 是 圆 上 两 动 点 ， 且 满 足 ∠ APB ＝ 90° ， 求 矩 形
APBQ的顶点Q的轨迹方程．
思路点拨：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线 的轨迹方程．利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式 建立线段AB中点的轨迹方程．
x0＋12 y02 ＋ 2 2
3 2 1 2 1 1 1 x 0＋ x0＋ ＋ 3－ x0 4 2 4 4 4 1 2 1 1 16x0＋2x0＋1 ＝1＋4x0，
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
点评：根据题设条件，可以得出动点的轨迹是某种已知
曲线，则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
1 解析：依题意有 kPA· kPB＝4， y y 1 即 · ＝4(x≠± 2)， x＋2 x－2 x2 2 整理得 4 －y ＝1(x≠± 2)．故选 D. 答案：D
用定义法求点的轨迹方程 【例 2】 如图，在平面直角坐标系中， N 为圆 A ： (x ＋
1)2＋y2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在
(2)设点 P(x0，y0)，PB 的中点为 Q，则 |PB|＝ x0－12＋y2 0 ＝ ＝ 3 2 2 x0－2x0＋1＋3－ x0 4 1 2 1 x 0－2x0＋4＝2－ x0， 4 2
x0＋1 y0 ， Q ， 2 2
即以PB为直径的圆的圆心为
，
1 半径为 r1＝1－4x0，又圆 x2＋y2＝4 的圆心为 O(0,0)， 半径 r2＝2， 又|OQ|＝ ＝ ＝
解析：设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)， 则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)， 又|AR|＝|PR|＝
x1－42＋y21 ，
所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)， 即x21＋y21－4x1－10＝0，
→· → ＝ 0. 线段AN上，且 MP BN
(1)求动点P的轨迹方程； (2) 试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 的位置关系， 并说明理由． 自主解答：
解析：(1)由点 M 是 BN 的中点， →· → ＝0，可知 PM 垂直平分 BN， 又MP BN 所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|， 所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． x2 y2 设椭圆方程为a2＋b2＝1，其中 2a＝4，2c＝2， 可得 a2＝4，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 可知动点 P 的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
2 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d2 － d 2 1＝25，
3x－2y＋32 2x－3y＋22 即 － ＝25. 13 13 化简得(x＋1)2－y2＝65. 即为所求的动点 M 的轨迹方程．
点评：利用题设条件建立动点坐标x与y的关系，再等价变 形得到轨迹方程F(x，y)＝0.
整理得 x2＋y2＝56，这就是所求的轨迹方程．
点评：相关点代入法(代入转移法)：动点P(x，y)依
赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又 在某已知曲线上，则可先用 x ， y 的代数式表示 x0 ， y0 ， 再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．
变式探究
3．M是抛物线y2＝x上一动点，以OM为一边(O为原点)，作
正方形MNPO，求动点P的轨迹方程．
解析：设动点 P(x，y)，M(x0，y0)， 因为正方形 MNPO，所以|OM|＝|OP|，OP⊥OM.
2 2 2 2 x ＋ y ＝ x ＋ y ， 0 0 所以有y y0 x0＝－1. x·
何特征，从而进一步转化为方程．
自主解答：
解析：设动圆的圆心为 M(x，y)， 半径为 r，点 M 到直线 l1，l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、弦长间的关系得，
2 2
r2－d2 1＝26， r2－d2 2＝24，
2 2 r － d 1＝169， 即 2 2 r －d2＝144，
变式探究
2 ．已知两定点 F1( － 1,0) 、 F2(1,0) ，且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|， 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点， x2 y2 长轴长为 4 的椭圆，故其方程为 4 ＋ 3 ＝1. x2 y2 答案： 4 ＋ 3 ＝1
第七章
第十一节 轨迹方程的求法
用直接法求点的轨迹方程 【例1】 已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3
＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆 截得的弦长分别是定值26和24，求圆心的轨迹方程． 思路点拨： 弦长通常可与弦心距及半径相联系，因而 可由两个定圆心距与同一个半径的关系而得动圆圆心的几
变式探究
1．(2012· 襄阳调研)平面内动点 P(x，y)与 A(－2，0)，B(2,0) 1 两点连线的斜率之积为4，则动点 P 的轨迹方程为( ) x2 2 A. 4 ＋y ＝1 x2 2 C. 4 ＋y ＝1(x≠± 2) x2 2 B. 4 －y ＝1 x2 2 D. 4 －y ＝1(x≠± 2)
因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，点 Q 即在
所求的轨迹上运动．
设 Q(x，y)，因为 R 是 PQ 的中点， x＋4 y＋0 所以 x1＝ 2 ，y1＝ 2 ， 代入方程 x21＋y21－4x1－10＝0，得
x＋42 y 2 x＋4 ＋ －4· －10＝0， 2 2 2