dx ,
MiMF ΔiF = ∫ dx EI l
对于静不定桁架:
n
δi j =
∑
k =1
FN i , k FN j , k l k E k Ak
n
,
Δi F =
∑
k =1
FN i , k FN F,k l k E k Ak
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ，试求刚架C处的反力。
∫
0
a
0
x1 dx1 +
2
∫
a
0
⎞ 4a a dx2 ⎟ = ⎠ 3EI
2
3
a A
1 ⎡ ⎢ Δ1F = EI ⎢ ⎣
∫
a⎛
3⎞ q x ⎜ − 0 1 ⎟ x1 dx1 + ⎜ 6a ⎟ ⎝ ⎠
∫
a⎛
0
2 ⎞ ⎤ q a 0 ⎜− ⎟ a dx 2 ⎥ q 0 ⎜ ⎟ 6 ⎥ ⎝ ⎠ ⎦
q0 a 4 =− 5 EI
N
= C−
P , Q 2
C−
= X1
∆v C =∆ 1=0
, ∆ 1 = ∆ 1 P + δ 11X 1= 0
1 M P = − PR (1 − cos ϕ ) M 0= R sin ϕ 2
3 1 π − 1 PR 2 2 ∆ 1P = PR (1 − cos ϕ ) sin ϕ ⋅ Rdϕ = − 0 ∫ EI 2 AEI π 1 2 2 2 πR 3 δ 11= 0 R sin ϕ ⋅ Rdϕ = ∫ EI 4 EI
δ i j 表示X i 作用点沿着X i 方向由于X j = 1单独
作用时所产生的位移
ΔiF 表示X i 作用点沿着X i 方向由于实际载荷单独
作用所产生的位移
X i = 1引起的弯矩为M i 设 ⎧ ⎪
⎨ X j = 1引起的弯矩为M j ⎪实际载荷引起的弯矩为M F ⎩
则 δi j = ∫
l
MiM j EI
⎛ π ⎞⎞ ⎛ − FR sin ⎜ ϕ − ⎟ ⎟ ( R sin ϕ ) Rdϕ ∫π 4 ⎜ 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝
π
2
X
1
A
F
C
B
φ
A
∆1F F ∴ X1 = − = ↑) ( δ11 2 2
C
1
φ
B
A
例 8 、求图示结构 的约束反力
C EI
EA
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
3 a _F __ 7
3 a _F __ 7
M图
4 a _F __ 7 4 a _F __ 7
例12：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
q B a a A C a D
3 ⎛ a 2 2a ⎞ 4 a ⎜ ⋅ δ 11 + a2 ⋅ a⎟ = ⎜ 2 3 ⎟ 3EI ⎝ ⎠ 3 4 ⎞ 1 ⎛ qa qa Δ1F = − ⎜ ⋅ a⎟ = − ⎟ EI ⎜ 2 2 EI ⎝ ⎠
由 δ 11 X 1 + Δ1F = − Δ
得
29 F 3EIΔ X1 = − 3 64 4a
例2：刚架的弯曲刚度为 EI ，承受力 F。 A 试求：刚架多余约束反力。
F
A B A
F
B a
X1
X1 B
a
FD
C D C
D a A a
C
F
a
F
F
a
X1
X1 B
2 ⎛ a 2 2a 5a 3 3⎞ δ11 = ⎜ × +a ⎟= EI ⎝ 2 3 ⎠ 3EI 1 ⎡ Fa 2 2a Fa 2 ⎤ 5Fa 3 Δ1F = − ⎢ × + ×a⎥ = − EI ⎣ 2 3 2 6EI ⎦
x2
⎧ M ( x1 ) = − x1 AB段: ⎨ ⎩ T ( x1 ) = a BC段: M ( x2 ) = x2
2
3
∆1F X1 = − δ11
Fa 3 − 3F 8 EI =− 3 = a 8 3EI
例11：图示刚架 EI为常量，画出 刚架的弯矩图。
F a a A B
F
解：
X1 F a/ 2
1
F
δ 11
7a 3 = 24 EI
a/ 2 A Fa
Fa 3 Δ1F = − 4 EI
6F X1 = 7
F
6_ F _ 7
M
M
2 1 1 2 1 . ( .a. a. . a ) EI 2 2 3 2 1 1 1 2 + . (a.1.1) + . ( .a.a. .a ) EI 2 EA 3 a3 a = + 1 2 EI EA
∆1 = ∆1P + δ11. X 1 = 0
B
1 P.a 2
∆1P
X1
a E
3 2 1 1 2 1 Pa = .( .a. Pa. . a ) = EI 2 2 3 2 6 EI
C
δ11 =
N
X1
M
1 a 2
P 3）对静定基进行受力分析， 建立相当系统
4）研究DE梁的C点与BC杆的C点的 竖直相对线位移，建立正则方程 5）根据相当系统图，求出其他 全部约束反力
例18:已知平面刚架的EI, GI P ,求C处约束反力. A C
2a
P
a
x1
P AB段: M ( x1 ) = Px1
∆1 = ∆1P + δ11. X 1 = 0
a A EI
l
B
−1
P 解： 1）判断静不定种类及次数 约束反力一次静不定 2）解除B点约束，建立静定基 P
Pl
M
N
1
l
M
X1
1 1 2 Pl 3 ∆1P = . ( .l.Pl. .l ) = ⎫ EI 2 3 3EI ⎬ 3 1 a ⎭ 1 1 2 l .(a.1.1) = δ11 = . ( .l.l. .l ) + + EA EI 2 3 3EI EA
A
F C
B
F
C
B
M = − FR cos （ϕ−π/4） ϕ∈[π/4，π/2] M = R sin ϕ ϕ∈[0，π/2] M2 1 π2 π R3 2 δ11 = ∫ ds = ( R sin ϕ ) Rdϕ = ∫ 0 EI EI 4 EI s
MM 1 ∆1P = ∫ ds = EI EI s π FR 3 =− 8 2 EI
1
FNA
F Fa = , MA = 2 8
A X1 F/ 2
F/ 2
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。 2a qa 3 解： δ 11 = , Δ1F = − EI EI
a q
a
a q q A a
由 δ 11 X 1 + ∆1F = 0 得
1 2 M A = X 1 = qa 2
1 = EI
由δ 11 X 1 + Δ1F = 0 得
3qa X1 = 8
FBx = 0, FBy FAx = 0, FAy
3qa = ↓ 8
() ()
qa (逆时针) MA = 8
2
11qa = ↑ , 8
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求支座B处的反力。
q0 C a B
解：
δ 11
1 ⎛ = ⎜ EI ⎝
MM PR 3 FR 3π VBx = ∫ dx = − l EI 4 EI 4 EI 1 ⎡1 2 8FR 3 ⎤ ′ = (2 FR × 2 R ) × × 2 R⎥ = VBx ⎢ EI ⎣ 2 3 ⎦ 3EI
θ
B
θ
B
F
F
N=P/2
N=P/2
P/2 F F
P/2
协调条件
′ V Bx = V Bx
a D a C
∆1P F X1 = − = δ11 2
例3：刚架的弯曲刚度为 EI ，承受力 F。 试求：刚架多余约束反力。
F 1
F a a A
F
B F X1 X1 a
a F A A
2 3
1 ⎛a 2a a δ11 = + ⎜ EI ⎝ 8 3 2 4
⎞ 7a ⎟= ⎠ 24EI3a A B1 ⎡ Fa 2 a ⎤ Fa 3 Δ1F = − ⎢ × ⎥=− EI ⎣ 2 2 ⎦ 4EI
5 Fa = 作用于固定端A 6
a
a a
1 F
Fa
例5：已知结构的弯曲刚度为 EI ， 试求对称轴上A截面的内力。
a
F
a a
解：δ 11
2 2a Fa , Δ1F = − = 4 EI EI
A a
由 δ 11 X 1 + ∆1F = 0 得 Fa X1 = 8 ∴ FSA = 0
F a
1 1
F a/2
F=
3P 32 + 3π
因AD与BF对称，其受力也对称， 6 PR M D = M F = Fl = F × 2 R = 32 + 3π
例16、选择题:
一、(a)图所示悬臂梁,如在自由端B上 加一个活动铰支座(b)图,则该梁的 (A) 强度提高,刚度不变 (B) 强度不变,刚度提高 (C) 强度,刚度都提高 (D) 强度,刚度都不变 答案：(C) (a)图 二、下图所示结构是 静不定机构 (A) 1次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次 答案：(B) (b)图 四、下图所示结构是 三、下图所示结构是 静不定机构
∆1P P X 1= − = = 0.318 P ( ↑ ) δ11 π