C距参考轴y1的距离z(图a)。
a
z
z (4a a)(2a 2a) (2a 4a)(a)
(4a a) (2a 4a)
4a 6a
* C
z
2a
4a
y1
(b)
a
2. 确定形心主惯性轴，并求形心主惯性矩 z
4a 6a
由于z轴为对称轴，且y、z轴的交 点过形心，故图c中y轴和z轴的为形 心主惯性轴。
A Iz
Iy
中性轴方程 az
ay 中性轴 z
F A

FyF y0 Aiz2

FzF z0
Ai
2 y

F (1 A
yF y0 iz2

z
F z0
i
2 y
)

0
y
F(zF , yF )
1
yF y0 izy
0
中性轴在形心主惯性轴y、z上的截距
ay


iz2 yF
az


i
2 y
zF
* C
y
形心主惯性矩Iy为
4a
Iy

a(4a)3 [
12

(a

4a) (2a)2]
4a(2a)3 [
12

(4a

(c)
2a) a2 ]
32a4
Iz

4a(a)3 12

2a(4a)3 12

11a4
3. 计算横截面上的内力
将F力向形心C简化，可得杆的内力分别为 FN=F，My=F·2a， Mz=F·2a
,
az


i
2 y
zF
yi

yF


iz2 ay
zi

zF


i
2 y
az
(1) 圆截面的截面核心 由对称性：截面核心也应该是圆
ay1 d / 2, az1
i
2 y

iz2

Iy A

Iz A

πd 4 / 64 πd 2 / 4

d2 16
y1


iz2 a y1


d2 d
a z
4a 6a
* C
y
4a
(c)
4. 确定最大拉应力和最大压应力作用点位置并计
算应力值
a z D2
t,max

FN A

M y 2a Iy

Mz 2a Iz

151 F 264 a2
-
4a 6a
c,max

FN A

M y 4a Iy

Mz (0.5a) Iz


17 66
F a2
* C
ry=-iz2/ay，rz=-iy2/az
中性轴编号
中性轴
ay
的截距
/m
az
对应的截面核
心边界上的点
截面核 心边界 上点的
y

iz2 ay
坐标值 /m
z


i
2 y
az
①
②③
④
⑤
⑥
0.45 ∞ -0.45 -0.45 ∞ 0.45
-∞ -0.40 ∞
1
2
3
1.08 0.60 1.08
4
5
6
i
2 y
az1

0
中性轴的方程
1
zF
i
2 y
z0

yF iz2
y0
0
B点的坐标yB、zB代入
1
zB
i
2 y
zF

yB iz2
yF

0
对应的F点的坐标满足直线方 程
例题 8-4
试确定图示T形截面
的截面核心边界。图中y、
z轴为形心主轴。已知：
截面积A=0.6 m2；惯性
矩Iy=48×10-3 m4, Iz=27.5×10-3 m4；惯性 半径的平方
/16 /2


d 8
z1


i
2 y
az1
0
(2) 矩形截面的截面核心
i
2 y

Iy A

b3h / 12 bh

b2 12
iz2

Iz A

bh3 / 12 bh

h2 12
截距
a y1


h, 2 y1
az1 iz2
a y1


h2 / 12 h/2


h 6
z1


D1 4a
y
+
Myz Iy
+
- Mzz
Iz
(d)
III、（偏心拉、压问题的）截面核心：
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横 截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面 形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心（core of section）。
ay


iz2 yF
i
2 y

8 102 m2
，
。iz2 4.58 102 m2
解: 1. 计算截面核心边界各点的坐标 图中的6条直线①,②,…,
⑥便是用以确定该T形截面核 心边界点1,2 …,6的中性轴； 其中①②③⑤分别与周边AB、 BC、CD、FG相切，④和⑥ 分别为 DF 和 GA。根据它们 各自在形心主惯性轴上的截 距计算所对应的偏心压力作 用点的位置ry、rz列表如下：
组合变形的分析方法：在小变形和线弹性情况下，可先 分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采 用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和 总变形。
F
Ft
Ft
z

l/2 l/2
y
II、偏心拉(压) (拉：F 0 ; 压: F 0)
xF
xF
z
My
y
z y
Mz
F
My
MZ
' F
A
'' Myz Iy
''' Mzy Iz
z
(yF , zF)



F A

Myz Iy

M z y I z
y
max

F A

Mz Wz

My Wy
min

F A

Mz Wz

My Wy
中性轴任意点（y0，z0）满足：
F Mz y0 M yz0 0
横截面上危险点的位置
横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时，危险点必定在横截 面的外棱角处。
例题8-3
试求图示杆件横截面上的最大拉应力和最大压 应力。外力F与杆件的轴线平行。
(a)
解: 轴向外力F未通过横截面形心，故杆件为偏心拉伸。
1. 确定横截面形心的位置 横截面的形心C必位于对称轴z上，只需计算形心
-0.102 0 0.102 0.102 0 -0.102 0 0.20 0 -0.074 -0.133 -0.074
2. 确定截面核心边界
中性轴绕一点旋转时，相应 的外力作用点的移动的轨迹 为一直线的关系，将六个点 的相邻两点用直线连接，即 得截面核心的边界。
• 8-6 • 8-11（b）
作业