第8章
应力和应变分析 强度理论
8.1 应力状态的概念
问题的提出
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
§ 8.1 应力状态的概念
1.直杆拉伸
k
F
k
k
F
{F p cos cos2
p sin
p
k
cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点 不同方向面上的应力也是各不相同的。
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
3
2
主应 力
主平
1
面
主平面： = 0 的平面
主应力：主平面上的正应力
主应力排序：12 3
应力状态的概念
3.应力状态的讨论
三向应力状态
二向（平面）应力状态 单向应力状态
应力状态的概念
4、正负号规则
x
x
正 应 力
x
拉为正
x
压为负
应力状态的概念
4、正负号规则
xy cos 2
1.34 MPa
(顺时针)
二、图解法（应力圆）
x
y
2
x y cos 2 2
xy sin 2
x
y
2
sin
2
x
cos 2
各式平方后相加
2
2
x
y
2
x
y
2
2
2
xy
圆心
(
x
2
y
,
0)
圆的半径： R
( x y )2 2
2 xy
上式在应力坐标系 中为一圆，称为应力圆(莫尔圆)
1、应力圆的画法
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微 元的形状改变比能达到一个共同的极限值。
屈服条件 强度条件
y y yx
x
xy
x x
y
B
O
yxx
C
D‘
y
x
D
xy
A
2、应力圆的意义
圆周上任意一点的横坐标和纵坐标分别代表单元体某 一相应平面的正应力和切应力
应力圆上任意两点间的圆弧所对应圆心角,等于该两点所代表
的截面的外法线夹角的两倍,两个角度的转向是相同的.
y y y
x
x
B0
2
x x
A0
y
§ 8-3 二向应力状态分析
二向应力状态分析
y
yx
x
xy
x
y
主应力如何确定?
§ 8-3 二向应力状态分析
y
yx
x
xy
x
y
解析
一、解析法
略去推导过程
x
yx xy
应力转换方程
x
y
2
y
x
2
y cos2
- xy sin 2
x y sin2 2
xy cos 2
§ 8-3 二向应力状态分析
练习：已知单元体的应力状态如图所示（应力单位为MPa ）， 试用解析法求出主应力的大小
y
30 40
40 60 x
二向应力状态分析
所以，最大和最小正应力分别为：
所
y
在
平
面
互 相
max, min 是除0之外的两个主应力
垂
直
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
§ 8-3 二向应力状态分析
知识点回顾 1、二向应力状态中已知某一截面上的应力，求 与已知截面成一定角度的截面上的应力。 解析法 图解法 2、二向应力状态中主应力的求解
强度条件 1 ( 2 3) [ ]
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的 最大切应力达到了某一共同的极限值。
三向应力状态下
max (1 3) / 2
得屈服条件
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
强度条件
1 3
4. 畸变能密度理论（第四强度理论）
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要产生脆性断裂,都是由于微 元内的最大伸长线应变达到了一个共同的极限值。
断裂破坏条件
b
1E
由广义胡克定律
1 [ 1 ( 2 3 )]/ E 得： 1 ( 2 3 ) b
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
应力状态的概念
F
F
一
A
个
F
σ
σ
例
子
σ
α
F
α
τα
τ α
应力状态的概念
2.一点应力状态的描述
过一点不同方向面上应力 的集合，称之为这一点的 应力状态。
z
单元体 （微元）
dx , dy , dz 0 x
y
应力状态的概念
x x
2、切应力的极值
同理对公式中的 求导
得
y
§ 8-3 二向应力状态分析
试求（1）主应力；（2）最大切应力
y 30MPa
30
20MPa
30 20MPa
解（1）由单元体可知：
x 20MPa ; y 30MPa ; xy 20MPa
x
max
x
y
min
2
2
x
y
2
2
xy
30MPa
20 30 ( 20 30)2 (20)2
2
2
37 MPa
- 27
1 37MPa ; 2 0 ; 3 27MPa
§ 8-3 二向应力状态分析
y 30MPa
30
20MPa
最大切应力
x
30 20MPa
30MPa
1
max
( x y )2 2
2 xy
( 20 30)2 ( 20)2 32MPa 2
3
强度理论概述
一、概述 材料破坏形式
x'y'
xy
剪 应力
使单元体或其局部 顺时针方向转动为正； 反之为负。
yx
应力状态的概念
4、正负号规则
方位角： 角
由 x正向逆时针转到x'正向者
。 为正；反之为负
y' y
x'
x
思考
应力状态的概念
求主应力
50MPa
50MPa
100MPa
100MPa 1
2
50MPa
3 0
100MPa 50MPa 1 2 0 100MPa 3
三、正应力和切应力的极值
x
y
2
x
2
y cos2
- xy sin 2
1、正应力极值 则有：
x y sin2 2
d d
tan 2 0
此时的切应力如何？
0
xy cos 2
0
2 xy
x
y
0
§ 8-3 二向应力状态分析
tan 2 0
2 xy x
y
所以，最大和最小正应力分别
为：
所
y
在
平
面
互
相
垂
直
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
脆性断裂 塑性屈服
max [ ],
max [ ]
σy
yz
zy
z
yx xy
σx
zx xz
y
x
z
四种强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要产生脆性断裂,都是由于微 元内的最大拉应力达到了一个共同的极限值。
断裂破坏条件 1 b
强度条件 1
求如图单元体中 3的0斜截面上的应力
10MPa
解：按应力和夹角的符号规定，有：
y
30MPa
20MPa
n
3300
30
x
330
10MPa
30
x 10MPa xy 20MPa
y 30MPa 30
代入应力转换方程：
x
y
2
x
2
y cos2
- xy sin 2
2.32 MPa
(实际方向为受压)
30MPa
30
x y sin2 2