2016北京市通州区高三（一模）数 学（理）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为（ ） A ．16 B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足A B C =，且A 不是B 的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．24 B ．2042+ C ．28D ．2442+5．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于（ ） A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．37B ．73C ．34D ．437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，PB PA =，则cos APB ∠的值为（ ）A ．12B ．13C ．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()()(),,f x g x h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”。

已知()()21,3g x x f x x b =-=+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则 实数b 的取值范围是（ ） A ．(,10⎤-∞-⎦B ．10,10⎡⎤-⎣⎦C ．3,10⎡⎤-⎣⎦D ．)10,⎡+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）9．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）10．在ABC ∆中，60,1A AC ∠=︒=，ABC ∆的面积为3，则BC 的长为______．11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AC CE ⊥于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______．12．若,,a b c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的最大值为______．13．已知函数()2log f x x =。

若0b a <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是______．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为______，第()*n n N ∈行中白圈与黑圈的“坐标”为______．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的从高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温． （Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[]8:00,23:00内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为12316,,,,t t t t ⋅⋅⋅，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率．17．（本小题14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EFAB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠=︒，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EH平面FBD ；（Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3π？若存在求出BP 的长，若不存在请说明理由．18．（本小题13分） 已知函数()()210axf x x x e a a ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若()20f x a+≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围．已知椭圆22:22M x y +=． （Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ∆的 面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=，其中*n N ∈，p 是不为1的常数．（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()*m m N ∈个项的和； （Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．2016北京市通州区高三（一模）数学（理）参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【答案】A 【解析】 试题分析：1i i+21i+=，故对应点位于第一象限. 考点：复数几何意义． 2．【答案】D考点：程序框图． 3．【答案】A 【解析】试题分析：由已知，集合C 为集合B A ,的交集，可知x C ∈A x ∈⇒，A x ∈⇒x C ∈，故选A. 考点：充要条件． 4．【答案】B考点：三视图． 5．【答案】C 【解析】试题分析：设等差数列公差为d ，则由已知)52(2)22(2d d +⋅=+，解得21=d ，所以{}n a 的前9项和为362128929=⨯⨯+⨯. 考点：等差数列、等比中项． 6．【答案】B考点：简单线性规划．【思路点睛】本题主要考查简单线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题.主要难点为通过条件确定43y kx =+所经过的点.由约束条件作出可行域，由直线34+=kx y 过点)34,0(A ，结合平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，可知，直线过BC 的中点D ，联立方程组⎩⎨⎧=-+=-+043043y x y x ，解得)25,21(D ，利用两点求斜率公式得出答案. 7．【答案】D 【解析】试题分析：由题)0,1(F ，由于过抛物线24y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，可得||||PF PB =，又PB PA =，故||||PF PA =，所以P 的坐标为)22,2(±，由余弦定理可得cos APB ∠31332)62(332222222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+=PA PB AB PA PB .考点：抛物线的定义、余弦定理．【思路点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，属于中档题。

通过对条件的分析，结合抛物线的定义，可得||||PF PB =，又PB PA =，故||||PF PA =，可求出点P 的坐标，进而在APB ∆中，3=PB ，3=PA ，62)022()31(22=-+--=AB ，由余弦定理，cos APB ∠PAPB AB PA PB ⋅⋅-+=2222，可得cos APB ∠的值.8．【答案】D 【解析】试题分析：作出)(x g 和)(x f 的图象，若)()(x g x h ≥恒成立，则)(x h 在直线)(x f 的上方，即)(x g 在直线)(x f 的下方，则直线)(x f 的截距0>b ，且原点到直线b x y +=3的距离1≥d ，即110||13|00|2≥=++-=b b d ，即10||≥b ，则10≥b 或10-≤b （舍），即实数b 的取值范围是),10[+∞.考点：不等式恒成立．【思路点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，由对称函数的定义，结合)()(x g x h ≥恒成立，转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键，即利用点到直线的距离公式，通过表达原点到直线b x y +=3的距离，且1≥d ，进而解不等式，得10≥b ，由题10-≤b 应舍去，本题综合性较强，有一定的难度.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．） 9．【答案】20考点：二项式定理． 10．13【解析】试题分析：由已知3sin 21=⨯⨯⨯=A AB AC S ，∴4=AB ，由余弦定理可得13=BC .考点：余弦定理． 11．【答案】1 【解析】试题分析：由已知，1212121=⋅==AB AC AD . 考点：弦切角定理，相似三角形． 12．【答案】12+考点：平面向量的运算． 13．【答案】),22[+∞ 【解析】试题分析：函数()2log f x x =的图象如下，若a b <<0，且)()(b f a f =，在a b <<1，且a b 22log log -=，即1=ab ，∴22222=≥+ab b a ，当且仅当22=a 时，取得等号，故b a +2的取值范围为),22[+∞.考点：对数函数、基本不等式．【思路点睛】本题主要考查对数函数和基本不等式，属于中档题.由函数()2log f x x =的图象，知当0b a <<，且()()f a f b =时，a b 22log log -=，即1=ab ，进而用基本不等式求最值时，应注意具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.14．【答案】()13,14 113131,22n n --⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为),(y x ，则第一行记为)1,0(，第二行记为)2,1(，第三行记为)5,4(，第四行记为)14,13(，第四行白圈与黑圈的“坐标”为)14,13(，各行黑圈乘以2，分别是2，4，10，28，82，即11+，13+，19+，127+，181+，所以第n 行的圈数为2131+-n ，而第n 行共有13-n 个圈，故第n 行的白圈数为2132133111-=+----n n n ，故第n （*∈N n ）行中白圈与黑圈的“坐标”为)213,213(11+---n n . 考点：归纳推理．【思路点睛】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，有第三行的数据求出第四行的黑白圈的个数，进而可归纳第n 行的黑白圈数．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值0，最小值212--.试题解析：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-…………………………………………………………4分()11sin 2cos 2122x x =-+21)42sin(22--=πx …………………………………………………………6分 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==。