2005年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文史类)数学试题(文史类)分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP--=)1()(第一部分(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.圆5)2(22=++yx关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A.5)2(22=+-yx B.5)2(22=-+yxC.5)2()2(22=+++yx D.5)2(22=++yx2.=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ()A.23-B.21-C.21D.233.若函数)(xf是定义在R上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且0)(=xf,则使得xxf的)(<的取值范围是()A.)2,(-∞B.),2(+∞C.),2()2,(+∞--∞ D.(-2,2)4.设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则(a·b)(a+b)等于()A.(1,1)B.(-4,-4)C.-4 D.(-2,-2)5.不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为( )A .)3,0(B .)2,3(C .)4,3(D .)4,2(6.已知βα,均为锐角,若qp q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.对于不重合的两个平面βα与,给定下列条件: ①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ; ②存在平面γ,使得α、β都平等于γ; ③存在直线α⊂l ,直线β⊂m ,使得m l //; ④存在异面直线l 、m ,使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中,可以判定α与β平行的条件有( )A .1个B .2个C .3个D .4个8.若n x )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍,则n 等于 ( )A .5B .7C .9D .119.若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b b y x 上变化,则y x 22+的最大值为 ( )A .⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b B .⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb bC .442+bD .b 210.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各边的中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形 的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则 该塔形中正方体的个数至少是 ( ) A .4 B .5 C .6 D .7第二部分(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11.若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ,则=B A .12.曲线3x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 13.已知βα,均为锐角,且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .14.若y x y x -=+则,422的最大值是 . 15.若10把钥匙中只有2把能打开某锁,则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .16.已知B A ),0,21(-是圆Fy x F (4)21(:22=+-为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为 .三、解答题:本大题共6小题,共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分)若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+,试确定常数a的值. 18.(本小题满分13分)加工某种零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87,且各道工序互不影响.(Ⅰ)求该种零件的合格率;(Ⅱ)从该种零件中任取3件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的 概率.19.(本小题满分13分)设函数∈+++-=aaxxaxxf其中,86)1(32)(23R.(1)若3)(=xxf在处取得极值,求常数a的值;(2)若)0,()(-∞在xf上为增函数,求a的取值范围.20.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC. 已知,21,2,2===AECDPD求(Ⅰ)异面直线PD与EC的距离;(Ⅱ)二面角E—PC—D的大小.21.(本小题满分12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为)0,3 ((1)求双曲线C的方程;(2)若直线2:+=kxyl与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且2>⋅OBOA(其中O为原点). 求k的取值范围.22.(本小题满分12分)数列).1(0521681}{111≥=++-=++naaaaaannnnn且满足记).1(211≥-=nabnn(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;(Ⅱ)求数列}{nb的通项公式及数列}{nnba的前n项和.nS数学试题(文史类)答案一、选择题:每小题5分,满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题:每小题4分,满分24分.11.}32|{<<x x 12.38 13.1 14.22 15.4517 16.13422=+y x三、解答题:满分76分.17.(本小题13分)解:)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x)4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1,则,3222+=+a 所以,3±=a 18.(本小题13分)(Ⅰ)解:1078798109=⨯⨯=P ;(Ⅱ)解法一: 该种零件的合格品率为107,由独立重复试验的概率公式得:恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ,至少取到一件合格品的概率为.973.0)103(13=-解法二:恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C,至少取到一件合格品的概率为.973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅CCC19.(本小题13分)解:(Ⅰ)).1)((66)1(66)(2--=++-='xaxaxaxxf因3)(=xxf在取得极值,所以.0)13)(3(6)3(=--='af解得.3=a经检验知当)(3,3xfxa为时==为极值点.(Ⅱ)令.1,)1)((6)(21===--='xaxxaxxf得当),()(,0)(),,1(),(,1axfxfaxa-∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增函数,故当)0,()(,10-∞<≤在时xfa上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥axfxfaxa和在所以则若时 上为增函数,从而]0,()(-∞在xf上也为增函数.综上所述,当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时xfa上为增函数.20.(本小题13分)解法一:(Ⅰ)因PD⊥底面,故PD⊥DE,又因EC⊥PE,且DE 是PE在面ABCD内的射影,由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE,因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.设DE=x,因△DAE∽△CED,故1,1,2±===xxxCDAEx即(负根舍去).从而DE=1,即异面直线PD与EC的距离为1.(Ⅱ)过E作EG⊥CD交CD于G,作GH⊥PC交PC于H,连接EH. 因PD⊥底面,故PD⊥EG,从而EG⊥面PCD.因GH⊥PC,且GH是EH在面PDC内的射影,由三垂线定理知EH⊥PC.因此∠EHG为二面角的平面角.在面PDC中,PD=2,CD=2,GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ,故23=⋅=PC CG PD GH ,又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π解法二:(Ⅰ)以D 为原点,DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D (0,0,0),P (0,0,)2, C (0,2,0)设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得, 即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(,又PD ⊥DE ,故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线,易得1||=DE ,故异面直线PD 、 CE 的距离为1.(Ⅱ)作DG ⊥PC ,可设G (0,y ,z ).由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==DG y z 故可取作EF ⊥PC 于F ,设F (0,m ,n ),则).,21,23(n m EF --=由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得, 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ===EF DG EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21.(本小题12分)解:(Ⅰ)设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.1322=-y x(Ⅱ)将得代入13222=-+=y x kx y.0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ,则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k.3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃--22.(本小题12分)解法一:(I );22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故 (II )因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b , 2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ,(否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾),034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n n n n n n n n 因故故2}34{=-q b n 确是公比为的等比数列.n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由nn n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n nn b b b n n n 解法二:(Ⅰ)由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得整理得,342,0364111-==+-+++n n n n nn b b b b b b 即.320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由(Ⅱ)由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n 所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n nn b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即解法三:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nnn n nn n n n 1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a3681636816211211111212-----=---=-++++++n nn n n n n n a a a a a a b b).(2361620368163624361n n n nn n n n b b a a a a a a -=--=-----=+,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---nn n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由 n b b b n ++++=)(2121).152(313521)21(31-+=+--=n nn n绝密★启用前 解密时间:2006年6月7日17:00 【考试时间:6月7日15:00—17:00】2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文史类)数学试题(文史类)共5页.满分150分.考试时间120分钟。