2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B 24πSR如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V Rn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)kkn kn nP k C p p kn ，，，…，一、选择题1．cos330（）A ．12B ．12C ．32D ．322．设集合{1234}{12}{24}U AB，，，，，，，，则()U AB e （）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin yx 的一个单调增区间是（）A ．，B ．3，C ．，D ．32，4．下列四个数中最大的是（）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．不等式203x x 的解集是（）A ．(32)，B ．(2)，C ．(3)(2)，，D ．(2)(3)，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123ADDB CDCACB ，，则（）A ．23B ．13C ．13D ．237．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A ．36B ．34C ．22D ．328．已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy 的图像按向量(23)，a平移，得到()yf x 的图像，则()f x （）A ．e2xB ．e2xC ．2ex D ．2ex 10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．33C ．12D ．3212．设12F F ，分别是双曲线2219yx的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ，则12PF PF （）A ．10B ．210C ．5D ．25第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52na n，则其前n 项和nS ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为cm 2．16．821(12)1x x的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q ，前n 项和为n S ．已知34225a S S ，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A，边23BC．设内角B x ，周长为y ．（1）求函数()y f x 的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC ，求二面角A EF D 的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y 相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bxb x 在1xx 处取得极大值，在2xx 处取得极小值，且1212x x ．（1）证明0a ；（2）若z=a+2b,求z 的取值范围。

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A8．A9．C10．D11．D12．B二、填空题13．12014．252nn15．242三、解答题17．解：由题设知11(1)01nna q a S q，，则2121412(1)5(1)11a qa q a q qq，．②由②得4215(1)qq ，22(4)(1)0qq ，(2)(2)(1)(1)0q q q q ，因为1q ，解得1q或2q．当1q 时，代入①得12a ，通项公式12(1)n na ；当2q时，代入①得112a ，通项公式11(2)2n n a ．18．解：（1）ABC △的内角和A B C，由00ABC，，得2B．应用正弦定理，知23sin sin 4sin sin sinBC ACBx x A，2sin 4sinsin BC ABC x A．因为y AB BC AC ，所以224sin 4sin 2303yx x x，（2）因为14sin cos sin 232y x xx 543s i n 23x x，所以，当x，即x时，y 取得最大值63．19．（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01AA A ，故01()()P A P A A 012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p 于是20.961p ．解得120.20.2p p ，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则0BB ．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.22件，故28002100C 316()C495P B ．00316179()()1()1495495P B P B P B 20．解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD ∥，，又CD AB ∥，故FG AE AEFG ∥，为平行四边形．EF AG ∥，又AG 平面SAD EF ，平面SAD ．所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC ，则42SD DG ADG ，，△为等腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A ，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH 为二面角A EF D 的平面角2tan 21DH DMHHM．所以二面角A EF D 的大小为arctan 2．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz ．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a aC a ，，，，，，00222a ab E a F ，，，，，，02b EFa ，，．取SD 的中点002b G ，，，则02bAGa ，，．EFAG EF AG AG，∥，平面SAD EF，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点111111(101)0222222MMD EF MD EF MD EF，，，，，，，，，，⊥又1002EA，，，0EA EFEA EF ，⊥，所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D 的平面角．AAE BCFSDGMyzxAE BCFSDHGM3cos3MD EA MD EAMDEA，．所以二面角A EF D 的大小为3arccos3．21．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线34xy 的距离，即4213r．得圆O 的方程为224xy ．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x ，，，，．由24x即得(20)(20)A B ，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得222222(2)(2)x yx yxy ，即222xy．(2)(2)PA PBx y x y ，，22242(1).xy y由于点P 在圆O 内，故222242.x y xy，由此得21y ．所以PA PB 的取值范围为[20)，．22．解：求函数()f x 的导数2()22f x axbxb ．（Ⅰ）由函数()f x 在1xx 处取得极大值，在2xx 处取得极小值，知12x x ，是()f x 的两个根．所以12()()()f x a xx x x 当1xx 时，()f x 为增函数，()0f x ，由10xx ，20xx 得0a．（Ⅱ）在题设下，1212x x 等价于(0)0(1)0(2)f f f 即202204420b a bb abb．化简得203204520ba b ab．此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：203204520b a b a b ，，．所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ，，，，，．z 在这三点的值依次为16687，，．所以z 的取值范围为1687，．ba212 4O4677A，(42)C ，(22)B ，。