原子物理学习题解答1.1 电子和光子各具有波长0.20nm,它们的动量和总能量各是多少? 解：由德布罗意公式p h /=λ,得：1.2 铯的逸出功为1.9eV,试求: (1)铯的光电效应阈频率及阈值波长;(2)如果要得到能量为1.5eV 的光电子,必须使用多大波长的光照射? 解：(1) 由爱因斯坦光电效应公式w h mv -=ν2021知,铯的光电效应阈频率为: 阈值波长: m)(1054.610585.4103714800-⨯=⨯⨯==νλc (2) J 101.63.4eV 4.3eV 5.1eV 9.12119-20⨯⨯==+=+=mv w h ν故: m )(10656.3106.14.31031063.6719834---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===ννλh hc c 1.3 室温(300K)下的中子称为热中子.求热中子的德布罗意波长?解：中子与周围处于热平衡时,平均动能为:其方均根速率: m/s 27001067.11021.6222721≈⨯⨯⨯==--nm v ε由德布罗意公式得：)nm (15.027001067.11063.62734=⨯⨯⨯===--v m h p h n n λ1.4 若一个电子的动能等于它的静止能量,试求：(1)该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少?解：（1）由题意知，20202c m c m mc E k =-=，所以（2）由德布罗意公式得： )m (104.1103101.931063.632128313400---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=====c m h v m h mv h p h λ 1.5 (1)试证明: 一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于2/120]1)/[(-E E ,式中0E 和E 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.(2)当电子的动能为何值时,它的德布罗意波长等于它的康普顿波长? (1)证明：粒子的康普顿波长:c m h c 0/=λ德布罗意波长:1)/(1)/(2020204202-=-=-===E E E E c m hcc m E hc mv h p h c λλ所以, 2/120]1)/[(/-=E E c λλ(2)解：当c λλ=时，有11)/(20=-E E ，即：2/0=E E 02E E =⇒故电子的动能为：2000)12()12(c m E E E E k -=-=-=1.6 一原子的激发态发射波长为600nm 的光谱线,测得波长的精度为710/-=∆λλ,试问该原子态的寿命为多长?解： 778342101061031063.6)(---⨯⨯⨯⨯⨯=∆⋅=∆-=∆=∆λλλλλνhc ch h E )J (10315.326-⨯= 由海森伯不确定关系2/ ≥∆∆t E 得：)s (1059.110315.32100546.1292634---⨯=⨯⨯⨯=∆≥=∆E t τ 1.7 一个光子的波长为300nm,如果测定此波长精确度为610-.试求此光子位置的不确定量.解： λλλλλλλλ∆⋅=∆≈∆+-=∆h h h h p 2，或：由海森伯不确定关系2/ ≥∆∆p x 得：)m (10386.21021.22100546.1223334---⨯=⨯⨯⨯=∆≥∆p x 2.1 按汤姆逊的原子模型，正电荷以均匀密度ρ分布在半径为R 的球体内。

(1) 设原子内仅有一个电子,试证该电子(电量为-e )在球体内的运动是以球心为平衡位置的简谐振动; (2) 设正电荷的总量等于一个电子的电量,且1010-=R m,试求电子振动频率及由此辐射出的光子的波长.解：(1) 电子所受库仑引力为: 2041r Qe F πε-=,由于 33333434r R Ze r RZe Q ==ππ， 所以 r R Ze F 32041πε-= 由此可知, 电子的运动是以球心为平衡位置的简谐振动. (2) 当Z=1, 1010-=R m 时, 32002411Re m πεω= 振动频率 Rm R eR m e 003002424212πεππεππων===辐射出的光子波长: )m (101811.11054.21037158-⨯=⨯⨯==νλc2.2 当一束能量为4.8MeV 的α粒子垂直入射到厚度为5100.4-⨯cm 的金箔上时,探测器沿20°方向每秒纪录到4100.2⨯个α粒子.试求:(1)仅改变探测器安置方位,沿60°方向每秒可纪录到多少个α粒子? (2)若α粒子能量减少一半,则沿20°方向每秒可测得多少个α粒子? (3) α粒子能量仍为4.8MeV ,而将金箔换成厚度相同的铝箔, 则沿20°方向每秒可纪录到多少个α粒子?(金和铝的密度分别为19.3g/cm 3和2.7g/cm 3,原子量分别为197和27,原子序数分别为79和13.忽略核的反冲).解：由公式, )2/(sin /')()41('42220220θπεr S Mv Ze Nnt dN =)2/(sin /')2()41(422220θπεαr S E Ze Nnt = (1) 当︒=60θ时, 每秒可纪录到的α粒子2'dN 满足:故 241210909.210201455.0'01455.0'⨯=⨯⨯==dN dN (个)(2) 由于2/1'αE dN ∝,所以 413108'4'⨯==dN dN (个)(3) 由于2'nZ dN ∝,故这时:55310227793.19197137.2''4221421112444=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=dN A Z A Z dN ρρ(个) 2.3 动能为40MeV 的α粒子和静止的铅核(Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少?解：由公式: ])2/sin(11[2412020θπε+=Mv Ze r m , 当对心碰撞时,πθ=,1)2/sin(=θ,则 2.4 动能为0.87MeV 的质子接近静止的汞核(Z=80),当散射角2/πθ=时,它们之间的最小距离是多少?解：最小距离为:2.5 试证明α粒子散射中α粒子与原子核对心碰撞时两者间的最小距离是散射角为90°时相对应的瞄准距离的两倍。

证明：由库仑散射公式：2cot 2412020θπεMv Ze b =，当︒=90θ时，12cot =θ，这时220241Mv Ze b πε= 而对心碰撞的最小距离：b Mv Ze Mv Ze r m 22241])2/sin(11[2412202020=⋅=+=πεθπε 证毕。

2.6 已知氢的赖曼系、巴尔末系和帕邢系的第一条谱线的波长分别为：121.6nm,656.3nm 和1875.1nm.由此还可以求出哪些系的哪几条谱线来?它们的波长各为多少? 解: 由题意知: 116.121/1)2()1(-==-λT T (1)11'3.656/1)3()2(-==-λT T (2) 11"1.1875/1)4()3(-==-λT T (3)由(1)+(2)式得: 111112')3()1(---+==-λλλT T nm 59.1022=⇒λ由(1)+(2)+(3)式得: 11111113"')4()1(----++==-λλλλT T nm 27.973=⇒λ由(2)+(3)式得: 111112"'')4()2(---+==-λλλT T nm 145.486'2=⇒λ 其中,2λ和3λ分别是赖曼系第二、三条谱线; 2'λ是巴尔末系第二条谱线.2.7 试由氢原子里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.解: 电子经电势差为U 的电场加速后,若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子电离,则U 称为该原子的电离电势; 若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子激发到第一激发态,则U 称为该原子的第一激发电势.由 22nZ hcR E H n -= , ,2,1=n ，对于基态氢原子, Z=1,由 13.64eV J 10097.11031063.678341=⨯⨯⨯⨯⨯==--∞H hcE E E得电离电势为13.64V 由 eV 23.104313.64eV )211(212=⨯=-=-H hcE E E 得第一激发电势为10.23V .2.8 对于氢原子、一次电离的氦离子He +和两次电离的锂离子Li 2+，分别计算它们的：（1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电子在基态的结合能；（3）第一激发电势及共振线的波长。

解：（1）He +：680211038.4210313714⨯=⨯⨯⨯==⋅=cZ Z e v απε(m/s) 6811019.2110313712⨯=⨯⨯⨯=⋅=Z c v α(m/s)Li 2+：6811057.631031371⨯=⨯⨯⨯==cZ v α(m/s)68110285.32310313712⨯=⨯⨯⨯=⋅=Z c v α(m/s)（2）电子在基态的结合能等于把电子从基态电离所需要的能量：对于He +有：56.5422=⋅=∆H hcR E (eV) 对于Li 2+有：76.12232=⋅=∆H hcR E (eV)（3）H H hcR Z Z Z hcR E E 43)21(2222212=-=- 对于He +有：8.406.1333423212=⨯==⨯=-H H hcR hcR E E (eV) 所以He +的第一激发电势为40.8V对于Li 2+有：8.916.13427433212=⨯=⨯=-H hcR E E (eV) 所以Li 2+的第一激发电势为91.8V . 共振线波长:30nm m)(1030.03712=⨯==-=-+HHe hcR hc E E hc λ2.9 能量为12.6eV 的电子射入氢原子气体中，气体将发出哪些波长的辐射？解： 由22eV6.131n n hcR E Hn -=-=，得 eV 6.131-=E ，eV 4.32-=E ，eV 51.13-=E ，eV 85.04-=E ，… 而12.6eV eV 2.1012<=-E E ，12.6eV eV 09.1213<=-E E ，但12.6eV eV 75.1214>=-E E ，所以气体将发出以下三种波长的辐射：2.11 一次电离的氦离子He +从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。

解：He +所辐射的光子能量：氢原子电离所需要的能量为eV 6.13''1=-∞E E ，所以，放出的电子动能为eV 2.276.138.40=-=k E ，速度为： 6311910093.3101.9106.12.2722⨯=⨯⨯⨯⨯==--ekm E v m/s 2.12 已知动能为91.8eV 的电子恰好使某类氢离子由基态激发至第一激发态，试问该类氢离子是什么?现以动能为110eV 的电子激发该基态离子,试问可得到几条谱线?这些谱线的波长各为多少?(不考虑精细结构)解: 由H H hcR Z Z Z hcR E E E 43)21(2222212=-=-=∆,得：36.1338.91434=⨯⨯=∆=HhcR EZ所以该类氢离子是Li 2+. eV 4.12296.131/221-=⨯-=-=Z hcR E H由于110eV eV 8.10813<=-E E 和110eV eV 84.11414>=-E E ,所以动能为110eV 的电子能将Li 2+激发至n=3的激发态,可得三条谱线,波长分别为:2.13 -μ子是一种基本粒子,除静止质量为电子质量的207倍外,其余性质与电子一样.当它运动速度较慢时,被质子俘获形成μ子原子.试计算: (1) μ子原子的第一玻尔轨道半径;(2) μ子原子的最低能量;(3) μ子原子赖曼线系中的最短波长. 解: 由于折和质量e ee ee pp m m m m m m M m M 18618362071836207=+⋅=+=μμμ(1) )nm (1085.2186053.0186111864441222022201-⨯=====a e m Z n er e πεμπε (2) H e hcR h e m n Z h e E 186)4(2186)4(222042222041-=-=-=πεπεμ2529.6eV eV 6.13186-=⨯-= (3)赖曼线系中的最短波长为: m 109.4106.16.25291031063.610198341---∞⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-=E E hc λ 2.14 已知氢和重氢的里德伯常数之比为0.999728,而它们的核质量之比为m H /m D =0.50020.计算质子质量与电子质量之比. 解: 由H e H m m R R /11+=∞和De D m m R R /11+=∞知:解得: 5.1836/=e H m m2.15 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时,(1)试求这个氢原子所获得的反冲速度是多大?(2)试估计氢原子的反冲能量与所发光子能量之比.解: (1) 放出的光子的动量: m /s)kg (1044.510310632.127818⋅⨯=⨯⨯===--c h hp νλ 由动量守恒定律得氢原子的反冲速度为: )m/s (26.31067.11044.52727=⨯⨯===--H H H m p m p v(2) 反冲能量 )J (1087.81067.12)1044.5(22272722722---⨯=⨯⨯⨯===H H H kHm p m p E 显然 9182710435.510632.11087.8/---⨯=⨯⨯=νh E kH可见反冲能量是可以忽略不计的. 2.16 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳整数个电子的德布罗意波波长,不论这稳定轨道是圆形还是椭圆形的.证明: 轨道量子化条件是：⎰=nh pdq 对氢原子圆轨道来说，mvr mr p p r ===•φφ2,0所以有：所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。