反比例函数的图像和性质的综合应用【基础知识精讲】1、反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=k x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数y=k x（k≠0）还可以写成：①1-=kx y （k≠0） ②k xy =（k≠0）. 2、反比例函数的概念需注意以下几点：（1） k 为常数，k≠0； （2）kx中分母x 的指数为1；(3) 自变量x 的取值范围是x≠0的一切实数； （4） 因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数．3、反比例函数的图象．4、反比例函数y=kx 具有如下的性质:性质1、反比例函数ky x=（0k ≠）（1）当0k >时，图象在一、三象限；在每个象限内，y 随x 增大而减小；（2）、当0k <时，图象在二、四象限；在每个象限内，y 随x 增大而增大；性质2、反比例函数ky x=（0k ≠）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形； 因此， 当点P （a ，b ）在图象上时，Q （－a ，－b ）和R （b ，a ）也在图象上。
5、反比例函数y=kx （k≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=kx（k≠0）的图像上任一点),(y x p作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S 矩形=∣xy ∣=∣k ∣, S △POM =21∣k ∣。
XY OP (x, y)MN一、【基础训练】1. 反比例函y=5m x-的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m 的取值范围是( ) A.m<0 B.m>0 C.m<5 D.m>52. 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是反比例函数y=-2x图象上的两点,若x 1<x 2<0,则y 1 与y 2之间的关系是( ) A.y 2<y 2<0 B.y 1<y 2<0 C.y 2>y 1>0 D.y 1>y 2>03. 函数y=(2m 2-7m-9)2919m m x -+是反比例函数,且图象在每个象限内y 随x 的 增大而减小,则m=_____.4. 如图,A 、B 是函数y=1x的图象上关于原点O 对称的任意两点, AC 平行于y 轴,BC 平行于x 轴,则△ABC 的面积为________.5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点，A 、B 、C 在双曲线xy 6=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点，F 在x 轴上，且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .6．如图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线y=kx交于点D ，•且OB ：OD=5：3，则k=________．7.如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线ky x(k>0)经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k= . 8.如图,直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ）A. S 1＜S 2＜S 3B. S 1>S 2>S 3C. S 1=S 2>S 3D. S 1=S 2<S 3 9.如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为xy OCBADxyOC A B yF EE CB AxO10.如图，已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC 。
直线DE 分别交x 轴于点P ，Q 。
当49QE DP =：：时，图中阴影部分的面积等于_______.11．如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC 的面积是2．若反比例函数的图象经过点B ，求此反比例函数表达式。
12.如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数my x=（x>0）的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27，12OC CA =。
（1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？OA B Cxyy =x xy A O PBC D13. 如图，已知反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过 点（21，8），直线b x y +-=经过该反比例函数图象上的点Q(4，m )． (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连结0P 、OQ ，求△OPQ 的面积．14.如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.OMxyA(第14题)二、【精讲精炼】考点一: 与几何图形有关的问题 例1如图，已知点()1,3在函数()0ky x x=>的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，且该函数图象也经过A 、E 两点，E 点横坐标为m . ⑴求k 的值；⑵求点C 的横坐标； ⑶当45ABD ∠=︒时，求m 的值.[实战演练]：（1）如图所示，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-5,320B ，D 是AB 边上的一点，将ADO ∆沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数图象上，求该函数解析式.考点二、两图像的交点问题例2．如图，A 、B 分别是x 、y 轴上的一点，且OA=OB=1，P 是函数y=12x (x>0)图象上的一动点，过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，M 、N 分别为垂足，PM 、PN 分别交AB 于E 、F ．(1)证明AF ·BE=1．(2) 若平行于AB 的直线与双曲线只有一个公共点， 求公共点的坐标．x[实战演练]：1．如图，已知反比例函数y=kx（k<0）的图象经过点A （，m ），过点A 作AB⊥x 轴于点B ，且△AOB （1）求k 和m 的值； （2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO•的度数和│AO │：│AC │的值．考点3：相似在反比例函数中的应用 例3、如图，已知反比例函数xk y 1=的图象与一次函数b x k y +=2的图象交于A 、B 两 点，)2,1(),,2(--B n A ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)在直线AB 上是否存在一点P ，使APO ∆∽AOB ∆，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线y ＝mx（x ＞0）交于点B (2，1)，过点P (p ，p －1) （p ＞1）作x 轴的平行线分别交曲线y ＝m x （x ＞0）和y ＝－mx（x ＜0）于M ，N 两点. （1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ； （3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △APM ？若存在， 请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由.考点四：反比例函数与方程和不等式例4.如图，已知()n A ，4-，()4,2-B 是一次函数b kx y +=的图象和反比例函数xmy =的图象的两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式.（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积.（3）求方程0=-+x mb kx 的解（请直接写出答案）； （4）求不等式0＜xmb kx -+的解集（请直接写出答案）.1.如图，直线b x k y +=1与反比例函数xk y 2=的图象交于A )6,1(，B )3,(a 两点． （1）求1k 、2k 的值； （2）直接写出021>-+xk b x k 时x 的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC //OD ，OB =CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．培优训练1. 若M(11,2y -),N 21(,)4y -,P 31(,)2y 三点都在(0)ky k x=<的图象上,则1y ,2y ,3y 的大小关系为 ( )A. 2y >3y >1yB. 2y >1y >3yC. 3y >1y >2yD. 3y >2y >1y 2、如图，已知动点A 在函数4(0)y x x=>的 图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至 点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC 。
直线DE 分 别交x 轴于点P ，Q 。
当:4:9QE DP =时，图中阴影部分的 面积等于_______A B D yE C xO P3.如图，ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，0），B （0，－2），顶点C ，D 在双曲线ky x=上，边AD 交y 轴于点E ，且四边 形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k =4.如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=k/x 的图象交于A 、B 、两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知A(a,b)，且a ∶b=3∶1，OA= 10，点B 的坐标为（m ，-2）。
（1）求反比例函数的解析式 （2）求一次函数的解析式（3）在y 轴上存在一点P ，是的△PD C 与△ODC 相似， 请你求出P 点的坐标。