试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每 30 分钟发出一辆，到达发车站的时间总长
度为 40，等车不超过 10 分钟的时间长度为 20，故所求概率为 20 1 ，选 B. 40 2
【考点】几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的 测度有长度、面积、体积等.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】
解：在 ABC 中， 可得 BC AC ,
sin A sin B
即32 sin 60
32
AC ，即 sin 45
3
2
AC 2，
2
解得 AC 2 3 ，
故选 C.
【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
的运算，即可求解． 【详解】
∵向量 a ， b 满足 a 2 ， b a b 3，∴ 22 32 2a b 3 ，解得 a b 2 ．
则 a 2b
2
2
a 4b 4a b
22 432 42 4 2 ．故选 D．
【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数 量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题．
8．圆 C1：x2+y2＝4 与圆 C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 的公共弦的长为（ ）
A． 2
B． 3
C． 2 2
D． 3 2
9．已知 m, n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 m ， m n ，则 n ；
②若 m ， n ，则 m n ；
A．
B．
C．
D．
11．一个样本 a,3,4,5,6 的平均数是 b，且不等式 x2－6x＋c＜0 的解集为(a，b)，则这个
样本的标准差是( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后 的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．72
④逆否命题为：若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m, n 平行，为真命题.
综上，为真命题的是②③④.
故选 A
【点睛】 本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题
型.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】
由于 a
19．在 ABC 中，若 AB 13 ， BC 3， C 120 ，则 AC _____．
20．
16 81
3
4
+log3
5 4
log3
4 5
________.
三、解答题
21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有 关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
对三角形 F1NF2 运用余弦定理,得到
2a 2
2
2a
2
2a 2 2c2 2
2a 2
2a
2 2a cos450 ,解得 e c
3
a
故选 B.
【点睛】
本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算
x，即可，难度偏难．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】
(a b)(c d)(a c)(b d)
22．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，连接 BD ，其中 DA DP ， BA BP .
（1）求证： PA BD ； （2）若 DA DP ， ABP 600 ， BA BP BD 2 ，求二面角 D PC B 的正弦
，
2
所以公共弦长为： l 2 r2 d 2 2 2 .
故选：C 【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9．A
解析：A 【解析】
【分析】
根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】
①若 m ， m n ，则 n 与 位置关系不确定； ②若 n ，则 存在直线 l 与 n 平行，因为 m ，所以 m l ，则 m n ； ③当 m ， m ， n ， n 时，平面 ， 平行；
喜欢游 不喜欢游 合
泳
泳
计
男 10
生
女 20
生
合 计
已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ．
（1）请将上述列联表补充完整； （2）并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （3）已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随机
2 x3
)r
，化简得 Tr 1
(2)r C5r x105r ，
令10 5r 0 ，即 r
故选：C. 【点睛】
2 ，故展开式中的常数项为T3 (2)2 C52 40 .
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意，根据向量的模的运算，可得 22 +32 +2a b 3，求得 a b 2 ，再根据向量模
16．在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , AB 2, BC 1, ABC 60 , 点 E 和点 F 分别在
线段
BC
和
CD
上,且
BE
2 3
BC,
DF
1 6
DC , 则
AE
AF
的值为
．
17．已知直线 ：
与圆
交于 两点，过 分别作 的垂线与
轴交于 两点.则
_________.
18．设复数 z 1 i(i 虚数单位), z 的共轭复数为 z ，则 1 z z ________.
③若 m, n 是异面直线， m ， m ， n ， n ，则∥ ；
④若 m, n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面.
其中为真命题的是（ ）
A．②③④
B．①②③
C．①③④
D．①②④
10．当 a 1时， 在同一坐标系中，函数 y ax 与 y loga x 的图像是（ ）
值. 23．某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分 别为 3，3，4，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
1 设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；
2 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期
8．C
解析：C 【解析】 【分析】 两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】 因为圆 C1：x2+y2＝4 与圆 C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得 x y 2 0 ，即公共弦所在的直线方程.
2
圆 C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为 d
①中 f x 2x3 的定义域为 ,0 ， f x x 2x 的定义域也是 ,0 ，但
f x 2x3 x 2x 与 f x x 2x 对应关系不一致，所以①不是同一函数；
②中 f x x 与 g x x2 定义域都是 R，但 g x x2 x 与 f x x 对应关系不
A． 3 2
B． 3
C． 2 3
D． 4 3
6．设双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0 )的左、右焦点分别为 F1，F2
，过 F1 的直线分别
交双曲线左右两支于点 M，N ，连结 MF2，NF2 ，若 MF2 NF2 0 ， MF2 NF2 ，则双曲
线 C 的离心率为( ).
A． 2
1，所以
y
ax
1 a
x
为
R
上的递减函数，且过 0,1
；
y
loga
x 为0,
上的单调递减函数，且过 1,0 ，故只有 D 选项符合.
故选：D. 【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础
抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：
P 0.15
（K2≥k）
0.10
0.05
k
2.072
2.706
3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
（参考公式： K2
n(ad bc)2
，其中 n=a+b+c+d）
（）
A．①③④
B．②④
3．
(x2
2 x3
)5
展开式中的常数项为（
）
A．80
Bபைடு நூலகம்-80
C．②③④ C．40
D．①②③ D．-40
4．设向量 a ， b 满足 a 2 ，| b || a b | 3 ，则 a 2b （ ）
A．6
B． 3 2
C．10
D． 4 2
5．在 ABC 中， A 60 ， B 45， BC 3 2 ，则 AC （ ）
25．已知函数 f x ax 1lnx ， a R ． ( Ⅰ ) 讨论函数 f x 的单调区间； ( Ⅱ ) 若函数 f x 在 x 1处取得极值，对 x 0, ， f x bx 2 恒成立，求实数