SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
（总平均值）
1 r X ni X i n i 1
(2)计算离差平方和
总平方和： (sum of square for total )
效应（组间）平方和： (sum of square for factor A) 说明：
934 .72 SSe SST SSA 1024 .89 934.72 90.17
(3)计算自由度
dfT n 1 9 1 8 dfA r 1 3 1 2 dfe n r 9 - 3 6
解： (4)计算均方
MS A SSA / dfA 934.72 / 2 467.36 MS e SSe / dfe 90.17 / 6 15.03
(5)F检验
MS A 467 .36 FA 31 .10 MS e 15.03
**
F0.01 2,6 10.92 F0.05 2,6 5.14
可见 FA F 0.01(2,6)，所以不同的饲料对猪的 体重有非常显著的影响。
列方差分析表
方差来源 平方和自由度 均方和 组间
**
*
例2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。 饲料 增重
A
B
51
23
40
25
43
26
48
C
23
28
解：T1 51 40 43 48 182, X 1 45.5
df A r 1 2, df E n r 9 3 6, X 307/ 9 34.11 dfT n 1 8
T2 23 25 26 74, X 2 24.6 T3 23 28 51 X 3 25.5
T 182 74 51 307
有3种水平，所以r=3
解： (1)计算平均值 X 1 45.5 (2)计算离差平方和
3 nj j 1 i 1
X 2 24.6
X 3 25.5 X 34.11
2 2 2 SST ( X ij X ) 2 （51- 34.11 ） （40 - 34.11 ） ... （28 - 34.11 ）
1024 . 89
2 2 2 SSA n j ( X j X ) 2 （ 4 45.5 - 34.11 ） （ 3 24.6 - 34.11 ） （ 2 25.5 - 34.11 ） j 1 3
2 T 2 SSE X ij i 512 402 ... 282 11406.83 i 1 j 1 i 1 ni 11497 11406.83 r r ni
SST SS A SSE 11497 10472.11 1024.89
MS A 934.73 2 467.36 MSE 90.17 6 15.03
为了把方差分析的过程更清楚，制作方差分析表： 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 因子A SSA r-1 均方 SSA/r-1 F值 显著性
随机误差
总和
SSe
SST
n-r
n-1
SSe/ n-s
MS A MS e
若 FA F 0.01 ，则称因素A对试验结果有非常显著的影响， 作标记 ；若F 0.05 FA F 0.01 ，则称因素A对试验结果 有显著的影响，作标记 ；若 FA F 0.05(dfA, dfe) ， 则称因素A无显著影响，无标记。
(3)计算自由度
仅考虑离差平方和是不够的，为此需考虑自由度 (degree of freedom) SST所对应的自由度称为总自由度：
dfT n 1
dfA r 1
SSA所对应的自由度称为组间自由度： SSe所对应的自由度称为组内自由度：
dfe n r
三个自由度之间存在的关系：
(二) 单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值
重复 水平 试验结果
A 1
X11 ... X1n1
A2
X 21 ... X 2 n2
...
... ... ...
Ar
X r1 ... X rnr
1
... ni
ni
j 1 （组内和）
列和Ti X ij
T1
T2
...
Tr
总和 Ti
i 1
单因素试验的方差分析
一、单因素试验
二、单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值 (2)计算离差平方和 (3)计算自由度
(4)计算平均平方 (5)F检验
三、单因素试验方差分析的简化计算
（一）单因素试验
机器设备 反应时间
原料成分
原料剂量
化工产品的 数量和质量
溶液浓度
操作水平
反应温度
压
力
方差分析（analysis of variance,简称ANOVA） ——根据试验的结果进行分析,鉴别各个有关因素 对试验结果的影响程度. 试验指标(experimental index)——试验中要考察的指标. 因 素(experimental factor)——影响试验指标的条件. 可控因素 因 素 不可控因素 水 平(level of factor)——因素所处的状态.
MS A 467.36 F 31.10 MS E 15.03
**
F0.01 2,6 10.92 F0.05 2,6 5.14
ห้องสมุดไป่ตู้
于是有：
如果每个水平上的试验次数ni相同，则可写成：
解：T1 182, T2 74, T3 51, T 307
df A 2, df E 6, dfT 8
r
Ti 2 T 2 1822 742 512 3072 SSA n 4 3 2 9 i 1 ni 11406.83 10472.11 934.72
（5）F检验
组间均方与组内均方之比F是一个统计量：
组间均方 MSA FA ~ F (dfA, dfe) 组间均方 MSe
FA服从自由度为（dfA，dfe）的F分布，对于给定 的 ，通过查表得临界值 F (dfA, dfe) 。 当FA F (dfA, dfe) 时 ，则认为因素A对试 验结果有显著影响 ，否则没有显著影响。
dfT dfA dfe
（4）计算平均平方
用离差平方和除以对应的自由度可得到平均平方 (mean square)，简称均方。 将SSA ,SSe分别除以dfA，dfe，得：
MS A SSA / dfA MS e SS e / dfe
称MSA 为组间均方（mean square between group） 称MSe为组内均方（mean square in group） 或误差的均方（error mean square）
误差（组内）平方和： (sum of square for error)
SSe ( X ij X j ) 2
r nj j 1 i 1
说明： SSe 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样
本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以称 SSe
是误差（组内）平方和.
平方和分解公式：SST SSA SSe