通过动态非线性偏最小二乘法对非线性模型进行预测以及控制G. BAFFI, J. MORRIS and E. MARTIN过程分析与控制技术中心，纽卡斯尔大学，纽卡斯尔，英国通过动态非线性偏最小二乘（PLS ）模型，模型预测控制（MPC）技术延伸到了非线性系统。

对于嘈杂的建模，PLS显示有适合它的多元回归方法，相关性以及/或者总线的数据。

在一个“静态”框架内，这种方法已广泛应用于工业过程一些数据的建模和分析中。

本文的贡献是对于非线性动态PLS框架在MPC应用中的发展。

该非线性动态PLS模型利用了一个基于误差的非线性偏最小二乘算法，其中非线性内部模型是建立于自回归与外源输入（ARX ）框架。

特别地，我们应该将二次和前馈神经网络内部模型考虑在内。

一个MPC框架内的一个动态的PLS模型的应用开辟了一种基于多元统计基础的预测方法，这一方法不仅应用于过程建模，推理估计和性能监控，同时也可进行模型预测控制。

一个基准仿真的pH值中和系统验证了非线性动态PLS框架在模型预测控制中的应用。

关键词：模型预测控制，非线性动态偏最小二乘引言模型预测控制（MPC ）正成为一种常规的采用先进的过程控制策略。

基于线性过程模型的MPC算法已被广泛研究并应用于化工流程工业。

这主要归功于它们处理过程约束，时间延迟和多变量系统的能力。

然而，许多过程是高度非线性的，并且，基于线性过程模型的MPC算法可能会导致控制性能不佳;这样一来，MPC技术就延伸到了非线性过程1-6。

在MPC中，感知的过程动态模型首先发展为预测过程在未来一定时间内的输出值。

这些数值被用来评估未来的控制动作，以减少预定义的代价函数。

基于程控制策略的过程建模和模型都是特别依赖于感兴趣的系统中的适当的数学表达式的可利用性。

一种方法是通过基于详细的化学和物理现象的知识原理的机理原理以及模型的发展来确定过程行为。

虽然一些非线性的MPC方法已经应用于基于非线性的展开机理模型，但是由于他们的发展需要详细知识和时间，这一方法未能受到广泛的应用6。

此外，在现代这个响应式的制造环境中，对于复杂的多产品生产家，精确的理论模型的研发甚至可能不实用。

由于一些正在研究的不具体的过程知识比那些需要制定一个物理原理模型更加具有需求性，从过程操作数据鉴定而来的以经验数据为基础的模型提供了另一种机械建模。

在工业流程上，这使得非线性的MPC算法得到了更广泛的应用。

这种结构包括多项式自回归滑动平均模型（ARMA）3，Volterra级数模型5,7和神经网络模型8,9。

当那些属于基本过程表示的是相关过程变量性质的正在发展的经验表示模型时，一个重要的、潜在的甚至严重的问题产生了。

无视相关结构能够严重影响用于获得该模型的非线性优化技术参数。

一种解决方案是应用基于偏最小二乘（PLS ）建模技术的多变量的统计预测，且这种建模技术考虑到了数据底层结构的相关性。

这项工作的目的是评估动态非线性PLS在MPC应用上的适用性。

一个良好已知的基准pH中和模型10已应用于测试动态非线性偏最小二乘回归模型及其在非线性PLS MPC方案中的使用。

严重的非线性特征提供了一个主要的建模挑战。

动态经验建模以经验数据为基础的建模方法是利用数学函数关系和回归工具（例如，最小二乘法或非线性最优化技术）来评估模型参数（回归系数） 。

这些由变量代表进程的行为，以及质量或要被控制的产品，或系统输出的特性收集而来的可以利用到实验性的数据（测量）对于经验建模技术的发展是有必要的。

大量的模型可用于动态经验建模。

最常见的形式包括输入/输出模型，如状态空间，时间序列，卷积，连续和离散时间传递函数模型。

但是这篇文章的范围不是回顾一系列的动态建模技术11,12。

在这项研究中，自回归与外部输入（ ARX ）模型可用二次结合和神经网络偏最小二乘方法13表示出来。

ARX 模型公式可以写为：11()(1)()()y un n i j i j y k A y k B u k j v k ===∙-+∙-+∑∑ （1）其中，u （ k ）和Y （ k ）分别是过程输入和输出数据矢量，v （ k ）是扰动噪声矢量，根据输入和输出的数目维变量，在时间点K 处采集数据、Ai 和Bj 是模型系数，ny 和nu 矩阵分别是时间滞后的输出和输入变量。

可以看出，该模型结构是基于（时间）过程变量的测量和滞后值，它假定在k 时刻，输出值是一个以之前过程为条件的结果。

这种方法的优点是当过程数据呈现给稳态回归模型是“动态”时，稳态回归技术可以用于动态过程建模。

作为一种简单的矩阵形式，ARX 模型可以表示为回归行向量点x （k ），两个向量点分别为滞后输出和输入值：()[(1)(2)()(1)(2)()]y u x k y k y k y k n u k u k u k n =-∙-∙-∙-∙-∙- （2） 公式（2）可以改写为：()()()y k C x k v k =∙+ （3）其中模型矩阵C 是由C =[A1, A2 ….Any ， B1,B2…Bny]给出。

当建立一个ARX 回归模型时，在公式（3）中的矩阵C 从其中被假定可用的输入和输出数据中计算出来，这些数据作为有代表性的典型过程这一条件被操作。

因此，这两个数据集，Xn* p 和Yn*l 其中的n 是样品的数量，P 和l 是流程的数量以及质量变量的数量，这些数据可以用来预测该过程的未来行为。

该过程测量与产品“质量” 、“响应”、或者数据在样品性质（时间上）上被定义和排序成两个矩阵：(1)(2)()x x x x k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦和 (1)(2)()y y y y k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中每一行向量点x （k ）是根据公式（2）定义的 ，每个行向量y （K ）包含相应的输出值是根据公式（3）定义的 。

然后两个数据矩阵X 和Y 可以通过公式Y=X*C+V 联系起来，其中V 是一个包含扰动信号的矩阵v （k ） 。

对于矩阵C 运用普通的最小二乘解出，如下公式给出：1()T T LS C X X X Y -=∙∙∙ (4)在时间点k 上，ARX 模型提供了对于输入和输出数据的一步到位的超前预测，即用于预测在时间点（K +1）的输出。

然而，知道在时间点k 到来之前输入变量的未来值，同时这样使得实现模型形式作为多步超前预测成为可能。

多步超前预测可以使用预测的输出值，而不是在公式（2）计算出的的输出值 ，即回归矢量x 可以被定义为：()[(1)(2)()(1)(2)()]u u x k y k y k y k n u k u k u k n ΛΛΛ=-∙-∙-∙-∙-∙- （5） 其中Y （K ）表示在时间点k 的预测输出。

此外，如果测得的输出值是可用的，即使在不规则的时间的基础上，通过回归向量代替预测值x ，它们可以被送入到模型中。

线性的、非线性的经验建模技术的主要缺点与灵敏度回归工具的数据矩阵有关，其中包括变量高度相关或共线。

用最小二乘解方程（ 4 ）会带来单数，模型估算会不精确和不稳定，即在数据矩阵中的小变化将导致参数估计的重大差距。

特别的，当模型数据被收集在一个显着的因为大量的变量的化学过程因而记录在每个单元的过程中时，这个问题被提出来，其中有许多解释了相同的底层程序的行为。

此外通过闭环控制系统以及对那些当收集这些数据时候不能被打开时进行再回收，作为一个施加在过程变量的结果，相关或总线的数据得到落实。

因此，回归矩阵的过程变量在时间上将显示出自相关和互相关。

也就是说，它们可以与自身或在不同的采样时间点收集到其他变量相关。

如果当数据被用于构建在MPC中的动态经验模型时，这种关系并不为之负责，这将会是特别严重的。

可能将导致控制器性能较差甚至不稳定。

这些问题可以通过使用基于偏最小二乘（PLS ）的回归预测技术来克服。

偏最小二乘（PLS）建模对于如何处理在时间上变量同时是自动和交叉相关的流程数据，解决这种问题的一种方法是PLS的多元统计预测技术的应用。

在扰动建模、相关性或共线数据上，PLS一直表现为一个合适的多元回归方法，且它已广泛地用于“静态”框架建模，推理估计以及工业过程数据的性能监测。

这主要是因为该方法把多输入多输出回归问题减少到了许多个单输入单输出回归问题。

在PLS上，Geladi和Kowalski的作品是最清晰和完整的教程之一。

在线性PLS中，输入和输出变量首先是映射到正交潜变量的子空间，得到输入和输出的分向量分别为t和u 。

普通最小二乘回归是在每一对相应的输入和输出分数之间形成。

通过一组权重向量（w）和负载向量（P），输入数据与输入变量有关联，而通过一组负载向量（Q），输出的数据与输出变量有关联。

偏最小二乘法的核心算法是非线性迭代偏最小二乘算法（NIPALS ）。

在PLS 的输入和输出数据矩阵中，每对潜变量占据有一定量的可变性。

典型地，如果变量是高度相关或共线的，与两个数据块相联系的大多数的变异可首先由几个潜在的变量捕获，低阶潜变量与在数据中存在的随机噪声有联系。

作为一种数据定义，需要描述过程行为而用到的潜变量的适当数量是通过交叉验证的应用确定的。

附录1提供了一种标准的线性PLS算法总结。

PLS最初是发展为一个线性回归技术。

然而，当线性PLS应用到非线性问题上时，这些只占有少量的总体变异性的潜变量不一定会被丢弃。

实际上，它们相对于描述要建模的系统的潜在的非线性行为可能是很重要的。

因此，理论上，通过选择潜变量的适当数量，非线性结构可以进行线性PLS建模。

然而，最终的PLS模型通常会包含太多的潜变量以至于与目标不合适，例如建模，校准或对于某些行业系统的性能监测。

这个问题的解决方案已经在文献中提出。

最常用的应用程序已经把非线性函数结合在线性PLS框架之内，从而提供了一种保留了线性PLS统计功能的非线性PLS算法。

Wold等人17提出了一种保留线性PLS框架的非线性PLS算法，但对于每一个保留的潜变量，所用的二阶（二次）多项式回归（QPLS ）适合每一对相应的输入和输出数据的函数关系。

作为与更新相关的输入变量的投影参数，Wold等人确定了在线性PLS框架内非线性回归技术的主要缺点。

他们继续提出了一个解决方案，并展示了他们的方法是如何校正输入的权重适合于输入和输出数据之间任何连续的，可微的函数关系。

他们还指出，当输入和输出的数据仅仅显示为略微的非线性函数关系时，一个“快速”和“简单”的PLS方法表示可以采用，根据原来的非线性迭代偏最小二乘（NIPALS）算法，其中权重W不列入一个校正程序进行性评估。

在输入和输出潜变量之间的内部映射中掺入神经网络的这条路径是允许的。

在这里，一组神经网络，每个潜变量都是用来确定非线性内回归模型。

通过在输入和输出之间的潜变量的内映射中加入一个径向基网络18，类似的方法有采用过。