第4章 静定结构的位移计算习题解答习题4.1 是非判断题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。
（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。
（ ）(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA 相同，则两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题4.1(8)图所示，EI =常数。
下列图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 4.1(7)图图(b)M图(a)M PM (b)P M 图(a)习题 4.1(8)图 习题 4.1(9)图(a)P习题 4.1(10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度变化作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题4.2 填空题(1) 习题4.2(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引起D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
(3) 用单位荷载法计算位移时，虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。
(4) 图乘法的应用条件是：__________且M P 与M 图中至少有一个为直线图形。
(5) 已知刚架在荷载作用下的M P 图如习题4.2(5)图所示，曲线为二次抛物线，横梁的抗弯刚度为2EI ，竖杆为EI ，则横梁中点K 的竖向位移为________。
(6) 习题4.2(6)图所示拱中拉杆AB 比原设计长度短了1.5cm ，由此引起C 点的竖向位移为________；引起支座A 的水平反力为________。
(7) 习题4.2(7)图所示结构，当C 点有F P =1(↓)作用时，D 点竖向位移等于∆ (↑)，当E 点有图示荷载作用时，C 点的竖向位移为________。
(8) 习题4.2(8)图（a ）所示连续梁支座B 的反力为)(1611R ↑=B F ，则该连续梁在支座B下沉∆B =1时（如图（b ）所示），D 点的竖向位移D δ=________。
习题 4.2(1)图 习题 4.2(5)图M =1习题 4.2(6)图 习题 4.2(7)图(a)(b)习题 4.2(8)图【解】（1）()3∆→。
根据公式R ΔF c =-∑计算。
（2）虚位移、虚力；虚力 。
（3）广义单位力。
（4）EI 为常数的直线杆。
（5）48.875()EI↓。
先在K 点加单位力并绘M 图，然后利用图乘法公式计算。
（6）1.5cm ↑；0。
C 点的竖向位移用公式N ΔF l =∆∑计算；制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。
（7）()a∆↑。
由位移互等定理可知，C 点作用单位力时，E 点沿M 方向的位移为21a∆δ=-。
则E 点作用单位力M =1时，C 点产生的位移为12a∆δ=-。
（8）11()16↓。
对（a ）、（b ）两个图示状态，应用功的互等定理可得结果。
习题4.3 分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移∆C V 。
EI 为常数。
【解】1）求∆C VP14M P （b ） 图（c ）图41M（a ）习题4.3(1)图（1） 积分法绘M P 图，如习题4.3（1）(b)图所示。
在C 点加竖向单位力F P =1，并绘M 图如习题4.3（1）(c)图所示。
由于该两个弯矩图对称，可计算一半，再将结果乘以2。
AC 段弯矩为12M x =，P P 12M F x = 则3/2P V P 01112d ()2248l C F l x F x x EI EI∆=⨯⨯⨯=↓⎰（2） 图乘法3P P V1122()2423448C F l F l l lEI EI∆=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=↓2)求∆C V（b ） 图（kN·m ）P M （c ） 图M习题4.3(2)图（1） 积分法绘M P 图，如习题4.3（2）(b)图所示。
在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（2）(c)图所示。
以C 点为坐标原点，x 轴向左为正，求得AC 段（0≤x ≤2）弯矩为M x =，2P 10(2)M x =⨯+则22V 0168010(2)d ()3C x x x EI EI∆=⨯⨯+=↓⎰（2） 图乘法由计算位移的图乘法公式，得V 1121126801602240221021()232333C EI EI∆⎡⎤=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=↓⎢⎥⎣⎦ 3)求∆C V（a ）M（c ） 图（b ） 图l 2M P P /2ql =21ql 4习题4.3(3)图（1） 积分法绘M P 图，如习题4.3（3）(b)图所示。
在C 点加竖向单位力并绘M 图，如习题4.3（3）(c)图所示。
根据图中的坐标系，两杆的弯矩（按下侧受拉求）分别为 AB 杆12M x =-，2P 142ql M x qx =-CB 杆M x =，P 2qlM x =则4/22V001111d d ()242224ll C ql ql ql x x qx x x x x EIEI EI∆⎛⎫=-⨯-+⨯=↓ ⎪⎝⎭⎰⎰（2）图乘法2224V1122112()243238222423224C ql l ql l ql l l ql l l EI EI∆⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=↓ ⎪⎝⎭ 4)求ϕAAEI B ll2EI 2（a ）（b ） 图M P （c ） 图Mql 2/8ql 2/22ql 1/311习题4.3（4）图（1）积分法绘M P 图，如习题4.3（4）(b)图所示。
在A 点加单位力偶并绘M 图，如习题4.3（4）(c)图所示。
以A 为坐标原点，x 轴向右为正，弯矩表达式（以下侧受拉为正）为113M x l =-，2P 3122M qlx qx =- 则23P PV 02232202d d 2113111311d 1d 2322322ll C l l l l MM MM x xEI EI x qlx qx x x qlx qx xEI l EI l∆=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰358ql EI=（ ） （2） 图乘法由计算位移的图乘法公式，得2222112112111212122333323211212111 2333832A ql l l ql EIql l l ql EI ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦358ql EI=（ ） 习题4.4 分别用积分法和图乘法求习题4.4(a)图所示刚架C 点的水平位移∆C H 。
已知EI =常数。
习题4.4图【解】1）积分法Dql lBAClABlDCABDC22ql 2ql 281ql 2(b)图M P M 图(c)(a)xx1lP M 、M 图分别如习题 4.4（b ）、（c ）图所示，建立坐标系如（c ）图所示。
各杆的弯矩用x 表示，分别为 CD 杆M x =，P 12M qlx =AB 杆M x =，2P 12M qlx qx =-代入公式计算，得2H 001111d ()d 22ll C x qlx x x qlx qx x EI EI ∆=⨯⨯+⨯⨯-⎰⎰43()8ql EI =→ 2）图乘法224H112232()2233828C ql ql l l l l ql EI EI∆⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭ 习题4.5 习题4.5(a)图所示桁架各杆截面均为A =2×10-3m 2，E =2.1×108kN/m 2，F P =30kN ，d =2m 。
试求C 点的竖向位移V C ∆。
(b) 图NP F A DC10.51--/2√22/2√000N F （c ） 图d1d （d ） 图F N 1d2√P2F P F F P E2CF PBDE PF PF 2√PF 2-2PF2√-3(a)(b) 图NP F1N F （c ） 图d1d 2√1-d 2√1d2√1-d2√（d ） 图F N 1d 2√√P习题 4.5图【解】绘NP F 图，如习题4.5(b)图所示。
在C 点加竖向单位力，并绘N F 图，如习题4.5(c )图所示。
由桁架的位移计算公式N NPF F Δl EA =∑，求得V P 10 2.64mm()C F d EA∆+==↓ 习题4.6 分别用图乘法计算习题4.3和习题4.4中各位移。
（见以上各题） 习题4.7 用图乘法求习题4.7（1）、（2）、（3）、（4）图所示各结构的指定位移。
EI 为常数。
【解】1）求V C ∆q=4mEIl 3mABEIl =4mCql 12q3416q741（a ）P M （b ） 图M（c ） 图习题 4.7（1）图绘P M 图，如习题4.7（1）(b)图所示；在C 点加竖向单位力，并绘M 图，如习题4.7（1）(c )图所示。
由计算位移的图乘法公式，得V 22112111234574165742332331112113 442233242354 ()3C AB BCq q EIql l ql l EI q EI ∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦=↓2）求ϕDD2EI Al /2l qEIEI2C B2ql /2l 1111/8ql 22/8/82ql 2/81317（a ）（b ） 图M P （c ） 图M习题 4.7（2）图绘P M 和M 图，分别如习题4.7（2）(b )、(c )图所示。
由计算位移的图乘法公式，得2222111317111111122888382D l ql ql ql l ql EI EI ϕ⎛⎫⎡⎤=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 31312ql EI=（ ）3）求A 、B 两截面的相对转角ϕABql EICl BA2EIq2lC/82ql 22ql 11（a ）（b ） 图M P （c ） 图M习题 4.7（3）图绘P M 和M 图，分别如习题4.7（3）(b )、(c )图所示。