2019-2020学年江苏淮安市洪泽区八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各式计算正确的是（）A．÷＝4B．+＝C．2﹣＝D．＝×3．反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．如果x﹣2y＝0且x≠0，那么的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．5．下列调查中适合普查的是（）A．调查市场上某种白酒中塑化剂的含量B．了解某火车的一节车厢内冠状病毒感染的人数C．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数D．了解某市居民每周收看新闻联播的次数6．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．7．矩形一定具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和等于360°B．对角线互相垂直C．对边平行且相等D．对角线相等8．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种二、填空题（共8小题）.9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．反比例函数y＝在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x 轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是．11．某班50名学生在适应性考试中，分数段在90～100分的频率为0.1，则该班在这个分数段的学生有人．12．有五张形状完全相同不透明的卡片，每张卡片上分别写有0，，﹣1，，，π，将无字一面朝上洗匀后，从中任取一张，取到的是无理数的概率是．13．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．14．若关于x的方程﹣＝1无解，则a＝．15．若平行四边形ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成2cm、3cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是cm．16．观察：a1＝1﹣，a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…，则a2020＝（用含的代数式表示）．三、解答题17．计算或化简：（1）÷（﹣）×；（2）•（﹣）．18．解方程：＝﹣3．19．先化简再求值：（﹣1）÷，再从0，﹣1，2中选一个数作为a的值代入求值．20．某学校开展学生读书月活动，为了了解学生每天读书情况，教务处随机抽取了部分学生，了解他们每天读书时长情况，并按时长分为4个等级：A．少于5分钟、B.5分钟到15分钟、C．大于15分钟到30分钟、D.30分钟以上．并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将图（2）补充完整；（3）D所对应的圆心角的度数为°；（4）如果该校有1500名学生，请你根据调查数据估计，该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有多少人？21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A1B1C1；（2）作△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2；（3）B1B2的长＝；四边形C2B2C1B1的面积为．22．概率如图，转盘中8个扇形面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性大小，写出它们发生的概率，并将这些事件发生的可能性从小到大的顺序排列：（1）P（指针落在标有6的区域内）＝；（2）P（指针落在标有9的区域内）＝；（3）P（指针落在标有偶数的区域内）＝；（4）P（指针落在标有偶数或奇数区域内）＝．23．某社团组织全体成员区游览区游览，游览区距出发点120公里．一部分成员乘慢车先行，出发1小时后，另一部分成员乘快车前往，结果，他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车的1.5倍，求慢车速度．24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．25．如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x 轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C，请根据上述条件，解答下列问题：求：（1）k，m的值；（2）一次函数y＝kx+1图象与x轴交点D的坐标；（3）求△ABC的面积．26．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（a1，b1），点N的坐标为（a2，b2），且a1≠a2，b2≠b1，以MN为矩形的两个顶点，且该矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为M、N的“正直矩形”．如图为MN的“正直矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（2，0），①若点B（4，3），求点A、B的“正直矩形”面积；②当点A与点C“正直矩形”是面积为4的正方形时，直接写出符合条件的所有点C坐标；（2）在（1）的条件下，点D横坐标是m，它是直线y＝﹣2x+8上一点，求点D与点A 的“正直矩形”的周长（用含m的式子表示）．27．（1）[方法探索]如图1，在等边ABC中，点P在△ABC内，且PA＝6，PC＝8，∠APC＝150°，求PB的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP′，分别证明△AP′P和△BP′P是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB的长．解：把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP′B，连接PP′．接着写下去：（2）[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P在等边△ABC外，且PA＝4，PB＝3，∠APB＝120°，若AB＝2，求∠PBC度数．②如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，P是△ABC外一点，连接PA、PB、PC．已如∠APB＝45°，PB＝2．请直接写出PC的长．参考答案一、填空题（共8小题）.1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．下列各式计算正确的是（）A．÷＝4B．+＝C．2﹣＝D．＝×【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断．利用二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．解：A、原式＝＝2，所以A选项错误；B、与不能合并，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项正确；D、原式＝＝×，所以D选项错误．故选：C．3．反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．解：∵反比例函数y＝中k＝6＞0，∴此函数的图象位于一、三象限．故选：B．4．如果x﹣2y＝0且x≠0，那么的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】首先将x﹣2y＝0变形为x＝2y，然后将其代入所求的分式，进行化简即可．解：由x﹣2y＝0且x≠0，得x＝2y，且y≠0，∴原式＝，故选：C．5．下列调查中适合普查的是（）A．调查市场上某种白酒中塑化剂的含量B．了解某火车的一节车厢内冠状病毒感染的人数C．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数D．了解某市居民每周收看新闻联播的次数【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解：A、调查市场上某种白酒中塑化剂的含量，调查具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；B、了解某火车的一节车厢内冠状病毒感染的人数，适合普查，故本选项符合题意；C、调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故本选项不合题意；D、了解某市居民每周收看新闻联播的次数，调查范围广，适合抽样调查，故本选项不合题意．故选：B．6．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式求解．解：从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率＝＝．故选：A．7．矩形一定具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和等于360°B．对角线互相垂直C．对边平行且相等D．对角线相等【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案．解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：D．8．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选：B．二、填空题（每题3分，共24分）9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．10．反比例函数y＝在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x 轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是6．【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．解：由题意得：S△MOP＝|k|＝3，k＝±6，又∵函数图象在一象限，∴k＝6．故答案是：6．11．某班50名学生在适应性考试中，分数段在90～100分的频率为0.1，则该班在这个分数段的学生有5人．【分析】由公式：频率＝，得：频数＝总人数×频率．解：根据题意，得该班在这个分数段的学生有50×0.1＝5（人）．12．有五张形状完全相同不透明的卡片，每张卡片上分别写有0，，﹣1，，，π，将无字一面朝上洗匀后，从中任取一张，取到的是无理数的概率是．【分析】0，，﹣1，，，π中共有2个无理数，则从中随机抽取一张卡片，抽到无理数的概率是．解：∵五个数0，，﹣1，，，π中，无理数是，π，∴从中任取一张，取到的数是无理数的概率是：，故答案为：．13．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2＝24cm2．故答案为：24．14．若关于x的方程﹣＝1无解，则a＝2或﹣1．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得．解：去分母，得：x（x+a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），整理，得：（a﹣2）x＝﹣3，当a＝2时，分式方程无解，当a≠2时，若x＝1，则a﹣2＝﹣3，即a＝﹣1；若x＝0，则（a﹣2）×0＝﹣3（无解）；综上所述，a＝2或﹣1，故答案为：2或﹣1．15．若平行四边形ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成2cm、3cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是14或16cm．【分析】此题注意要分情况讨论：根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以发现一个等腰三角形，即较短的边是2cm或3cm，又较长的边是2+3＝5cm，即可得出平行四边形的周长．解：如图所示：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，又∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，（1）当AE＝2cm时，则平行四边形的周长＝2（2+5）＝14（cm）；（2）当AE＝3cm时，则平行四边形的周长＝2（3+5）＝16（cm）；综上所述，▱ABCD的周长为14或16cm．故答案为：14或16．16．观察：a1＝1﹣，a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，…，则a2020＝（用含的代数式表示）．【分析】先计算得到a1＝，a2＝1﹣＝，a3＝1﹣＝，a4＝1﹣，由此可得a2020＝a1＝1﹣．解：a1＝1﹣＝，a2＝1﹣＝1﹣＝，a3＝1﹣＝，a4＝1﹣＝，而2020＝3×673+1，所以a2020＝a1＝1﹣＝，故答案为：．三、解答题17．计算或化简：（1）÷（﹣）×；（2）•（﹣）．【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算即可；（2）根据分式的混合运算顺序计算即可．解：（1）原式＝＝＝；（2）•（﹣）＝＝＝＝a．18．解方程：＝﹣3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：方程两边同乘以（x﹣2）得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），整理得出：2x＝4，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴x＝2不是原方程的根，则此方程无解．19．先化简再求值：（﹣1）÷，再从0，﹣1，2中选一个数作为a的值代入求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，﹣1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（﹣1）÷＝＝＝，∵当a＝﹣1或2时，原分式无意义，∴a＝0，当a＝0时，原式＝＝．20．某学校开展学生读书月活动，为了了解学生每天读书情况，教务处随机抽取了部分学生，了解他们每天读书时长情况，并按时长分为4个等级：A．少于5分钟、B.5分钟到15分钟、C．大于15分钟到30分钟、D.30分钟以上．并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200人；（2）请你将图（2）补充完整；（3）D所对应的圆心角的度数为72°；（4）如果该校有1500名学生，请你根据调查数据估计，该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有多少人？【分析】（1）根据等级B的人数和所占的百分比，可以求得这次被调查的学生总人数；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以求得等级C的人数，从而可以将图（2）补充完整；（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出等级D对应的圆心角的度数；（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有多少人．解：（1）这次被调查的学生共有：80÷40%＝200（人），故答案为：200；（2）等级为C的学生有：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），补充完整的图（2）如右图所示；（3）D所对应的圆心角的度数为：360°×＝72°，故答案为：72；（4）1500×＝750（人），即该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有750人．21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A1B1C1；（2）作△A1B1C1关于点O成中心对称的△A2B2C2；（3）B1B2的长＝10；四边形C2B2C1B1的面积为12．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；（2）利用网格特点，分别延长A1O、B1O、C1O，使A2O＝A1O、B2O＝B1O、C2O＝C1O，从而得到A2、B2、C2；（3）利用勾股定理计算B1B2的长；利用平行四边形的面积公式计算四边形C2B2C1B1的面积．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）B1B2的长＝2＝10；四边形C2B2C1B1的面积＝2×6＝12．故答案为10，12．22．概率如图，转盘中8个扇形面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性大小，写出它们发生的概率，并将这些事件发生的可能性从小到大的顺序排列：（1）P（指针落在标有6的区域内）＝；（2）P（指针落在标有9的区域内）＝0；（3）P（指针落在标有偶数的区域内）＝；（4）P（指针落在标有偶数或奇数区域内）＝1．【分析】根据不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1解决（2）、（4），然后根据概率公式解决（1）、（3）．解：（1）P（指针落在标有6的区域内）＝；（2）P（指针落在标有9的区域内）＝0；（3）P（指针落在标有偶数的区域内）＝＝；（4）P（指针落在标有偶数或奇数区域内）＝1．这些事件发生的可能性从小到大的顺序排列为：指针落在标有9的区域内、指针落在标有6的区域内、指针落在标有偶数的区域内、指针落在标有偶数或奇数区域内．23．某社团组织全体成员区游览区游览，游览区距出发点120公里．一部分成员乘慢车先行，出发1小时后，另一部分成员乘快车前往，结果，他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车的1.5倍，求慢车速度．【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出块车的速度，根据所用时间差为1小时列方程解答．解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.5xkm/h，﹣＝1，解得：x＝90，经检验，x＝90是原方程的根．答：慢车的速度是90km/h．24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A＝∠C，AB＝CD，又由AE＝CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．25．如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x 轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C，请根据上述条件，解答下列问题：求：（1）k，m的值；（2）一次函数y＝kx+1图象与x轴交点D的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）一次函数解析式为y＝x+1，令y＝0，则x+1＝0，解得：x＝﹣1，即可求解；（3）N（3，0），则点B横坐标为3，将x＝3代入一次函数得：y＝4，将x＝3代入反比例解析式得：y＝，进而求解．解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1＝2，解得：k＝1，∴一次函数解析式为y＝x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m＝2，∴反比例解析式为y＝；故k＝1，m＝2；（2）由（1）知，一次函数解析式为y＝x+1，令y＝0，则x+1＝0，解得：x＝﹣1，故点D（﹣1，0）；（3）∵N（3，0），∴点B横坐标为3，将x＝3代入一次函数得：y＝4，将x＝3代入反比例解析式得：y＝，即CN＝，BC＝4﹣＝，A到BC的距离为2，则S△ABC＝××2＝．26．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（a1，b1），点N的坐标为（a2，b2），且a1≠a2，b2≠b1，以MN为矩形的两个顶点，且该矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为M、N的“正直矩形”．如图为MN的“正直矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（2，0），①若点B（4，3），求点A、B的“正直矩形”面积；②当点A与点C“正直矩形”是面积为4的正方形时，直接写出符合条件的所有点C坐标；（2）在（1）的条件下，点D横坐标是m，它是直线y＝﹣2x+8上一点，求点D与点A 的“正直矩形”的周长（用含m的式子表示）．【分析】（1）①根据“正直矩形”的定义可知矩形的两条邻边长为2、3，即可求得“正直矩形”的面积；②根据正方形的面积为4，求得边长为2，结合A的坐标，即可求得点C坐标；（2）根据题意D的坐标为（m，﹣2m+8），从而得到点D与点A的“正直矩形”的周长为：2|m﹣2|+2|﹣2m+8|，分三种情况讨论求得即可．解：（1）①∵点A的坐标为（2，0），点B（4，3），∴点A、B的“正直矩形”面积为：（4﹣2）×3＝6；②∵点A与点C“正直矩形”是面积为4的正方形，∴点A与点C“正直矩形”的边长都为2，∵A的坐标为（2，0），∴C的坐标为：（4，2）或（0，2）或（0，﹣2）或（4，﹣2）；（2）∵点D横坐标是m，它是直线y＝﹣2x+8上一点，∴D（m，﹣2m+8），∵A的坐标为（2，0），∴点D与点A的“正直矩形”的周长为：2|m﹣2|+2|﹣2m+8|，①当m＜2时，点D与点A的“正直矩形”的周长为：2（2﹣m）+2（﹣2m+8）＝﹣6m+20；②当2＜m＜4时，点D与点A的“正直矩形”的周长为：2（m﹣2）+2（﹣2m+8）＝﹣2m+12；③当m＞4时，点D与点A的“正直矩形”的周长为：2（m﹣2）+2（2m﹣8）＝6m﹣20；综上，点D与点A的“正直矩形”的周长为：﹣6m+20或﹣2m+12或6m﹣20．27．（1）[方法探索]如图1，在等边ABC中，点P在△ABC内，且PA＝6，PC＝8，∠APC＝150°，求PB 的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP′，分别证明△AP′P和△BP′P是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB的长．解：把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP′B，连接PP′．接着写下去：（2）[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P在等边△ABC外，且PA＝4，PB＝3，∠APB＝120°，若AB＝2，求∠PBC度数．②如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，P是△ABC外一点，连接PA、PB、PC．已如∠APB＝45°，PB＝2．请直接写出PC的长．【分析】（1）如图1中，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP′，证明△PP′B是直角三角形即可解解决问题．（2）①如图2中，把△APB绕着点B顺时针旋转60°得到△BCD，连接PD，证明P．D，C共线，利用勾股定理的逆定理证明∠PBC＝90°即可解决问题．②如图3中，过点A作AD⊥AP，使得AD＝AP，连接PD，BD．证明△DAB≌△PAC （SAS），推出DB＝PC，求出BD即可解决问题．解：（1）如图1中，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B，连接PP′，由旋转不变性可知，AP′＝AP＝6，BP′＝PC＝8，∠APC＝∠AP′B＝150°，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△AP′P为等边三角形，∴P′P＝PA＝6，∠AP′P＝60°，∴∠PP′B＝150°﹣60°＝90°在△BP′P中，P′P＝6，BP′＝8，∴PB＝＝＝10．（2）①如图2中，把△APB绕着点B顺时针旋转60°得到△BCD，连接PD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，由旋转不变性可知，AP＝CD＝4，BP＝BD＝3，∠APB＝∠BDC＝120°，∠PBA＝∠DBC，∴∠PBD＝∠ABC＝60°，∴△PBD为等边三角形，∴∠BDP＝60°，∴∠BDP+∠BDC＝180°，∴P，D，C共线，∵AB＝BC＝2，PB＝3，PC＝3+4＝7，∴PB2+BC2＝PC2，∴∠PBC＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABP＝90°﹣60°＝30°．②如图3中，过点A作AD⊥AP，使得AD＝AP，连接PD，BD．∵△PAD，△ABC都是等腰直角三角形，∴AD＝AP，AB＝AC，∠PAD＝∠BAC，∴△DAB≌△PAC（SAS），∴DB＝PC，∵∠APD＝∠APB＝45°，∴∠DPB＝90°，过点B作BH⊥PA于H，∵PB＝2，∠BPH＝45°，∴BH＝PH＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝，BH＝，∴AH＝＝＝2，∴AP＝AD＝3，∴PD＝PA＝6，在Rt△DPB中，BD＝＝＝2，∴PC＝BD＝2．。