练习题
一、选择、填空题
1、下列正确的是（ A ）；
A 1212()Arg z z Argz Argz =+；
B 1212()arg z z argz argz =+；
C 1212()ln z z lnz lnz =+；
D 10z Ln Ln Lnz Lnz z
==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）；
A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件；
B lim 0n n z →∞=是级数1
n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件；
D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），
主值为（ 4
5(arctan )3
ln i π+- ）. 4、2|2|1
cos z i z dz z -=⎰ =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑
在1(1)2z =
+处收敛，那么该级数在45
z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）.
6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z
∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）；
7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点；
8、函数221
(1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；
二、计算下列各值
1．3i e π+； 2．tan()4i π
-； 3．(23)Ln i -+； 4
． 5．1i 。

解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
三、问函数23()2f z x y i =+在何处可导？何处解析？并求(3)f i '+，(32)f i '+。

提示：满足C-R 方程
四、试证下列各函数为调和函数，并求出相应的解析函数()f z u iv =+
(1) u xy =
五、如果函数()f z u iv =+在区域D 内解析，并且满足条件892003u v +=，试证()f z 在
D 必为常数。

提示：见教科书中36页 例2.5
六、 计算(21)(2)C zdz I z z =+-⎰ ，其中C 是(1) ||1z =; (2) |2|1z -=; （3）
1|1|2
z -=
； （4）||3z = 提示：见教科书中97页 例4.13，4.15 七、把1()32
f z z =-分别在0z =和2z =展开为泰勒级数。

提示：同上六 八、求1()1z f z e z
=-在区域（1）||1z <，（2）0|1|z <-<+∞的幂级数展开式。

提示：同上六 九、将函数 2
1()4f z z =+分别在24z i +<与2z <<∞内展开成洛朗级数。

提示：（1）11111()2(2)(2)24(2)4214i f z z i
z i z i z i i z i z i i -===+-++-++- 012424n n i z i z i i ∞=+⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑，24z i +< （2）2222022111114()4411()n
n f z z z z z z z
∞=⎛⎫===- ⎪⎝⎭+--∑，2z <<∞ 十、求幂级数的收敛半径（1）21n n z n ∞=∑（2）0!n n z n ∞=∑（3）0!n n n z ∞=∑。

提示：比值或根值判别法 十一、用留数计算积分5
5||21(3)(1)z dz z z =--⎰ ； 提示：5
555||21112Re [,3]2Re [,](3)(1)(3)(1)(3)(1)
z dz i s i s z z z z z z ππ==--∞------⎰ 而211Re [(),]Re [(),0]s f z s f z z
∞=-⋅ 十二、用留数计算积分
||252(1)z z dz z z =--⎰ ；提示：20,1z z z ===内都是一阶极点，由留
数定理得： ||25252522Re [,0]2Re [,1](1)(1)(1)z z z z dz i s i s z z z z z z ππ=---=+---⎰ .。