2011年高考数学总复习数列单元测试卷及答案(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案：A解析：由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16， ∴a 8＝8，又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 答案：D解析：a 4＝18－a 5⇔a 4＋a 5＝18，∴S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 4＋a 5)＝72.故选D.3．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )．∵d ≠0，∴d ＝2a 1.∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3.故选C.4．已知数列{a n }中，a n ＝n (2n －1)，其前n 项和为S n ，则S n ＋12n (n ＋1)等于( )A ．n ·2n ＋1－2nB ．(n －1)·2n ＋1＋2nC ．n ·2n ＋1－2D ．(n －1)·2n ＋1＋2 答案：D5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．6 答案：D解析：∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－12n )＝n －(12＋14＋18＋…＋12n )＝n －12[1－(12)n ]1－12＝n －1＋12n .∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164，∴n ＝6.故选D.6．等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“对任意n (n ∈N *)，都有a n ＋1>a n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：D解析：a 1<0时充分性不成立，a n <0必要性不成立．故选D.7．在等比数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －1 答案：B解析：因为{a n }是等比数列，设公比为q ，则a n ＝3·q n －1，又因为数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)·(a n ＋2＋1)，即a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以{a n }是等差数列，故{a n }是常数列，a n ＝3，所以S n ＝3n .故选B.8．(2009·黄冈3月)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k >0B ．k >－1C ．k >－2D ．k >－3 答案：D解析：依题意，(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2对n ∈N *恒成立，即k >－2n －1对n ∈N *恒成立，因为－2n －1(n ∈N *)的最大值为－3，所以k >－3，选择D.9．(2009·郑州市二测)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( ) A.53 B.35C ．－53D ．－35答案：C解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎨⎧a 1(1－q 4)1－q＝158 ①a 21q 3＝－98②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－(1q )4]1－1q＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.10．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：D解析：∵x ，a ，b ，y 成等差，∴x ＋y ＝a ＋b ，又∵x ，c ，d ，y 等比．∴xy ＝cd ，∴(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx＋2≥2＋2＝4.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定 答案：B解析：y ＝S n (S 2n ＋S 3n )＝S n ·S 2n ＋S n ·S 3n ＝S n (S n ＋q n ·S n )＋S n (S n ＋q n S n ＋q 2n S n )＝S 2n ＋q n S 2n ＋S 2n＋q n S 2n ＋q 2n S 2n ，x ＝S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋(S n ＋q n S n )2＝y .故选B.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2010项的和等于( ) A.30152B ．3015C ．1005D ．2010 答案：A解析：因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1， 从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2010项的和等于S 2010＝1005(1＋12)＝30152.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2009·江西重点中学联考)已知在等差数列{a n }中，S 1＝1，S 19＝95，则S 10＝________. 答案：30解析：设等差设数列{a n }的公差为d ，则有19＋19×182d ＝95，由此解得d ＝49，S 10＝10＋10×92×49＝30.14．(2009·保定调研)已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则q ＝________.答案：－12或1解析：∵在等比数列{a n }中，a 2，a 4，a 3成等差数列，∴a 2＋a 3＝2a 4⇒a 2＋a 2q ＝2a 2q 2⇒2q 2－q －1＝0⇒q ＝－12或q ＝1.15．(2009·南昌二模)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N *)，是否存在g (n )，使得等式f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n )＋n ＝g (n )f (n )总成立？若存在，请写出g (n )的通项公式(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．______________.答案：g (n )＝n ＋1解析：存在，g (n )＝n ＋1 当n ＝1时，1＋1＝g (1)，∴g (1)＝2；当n ＝2时，1＋1＋12＋2＝g (2)(1＋12)，∴g (2)＝3；当n ＝3时，1＋1＋12＋1＋12＋13＋3＝g (3)(1＋12＋13)，∴g (3)＝4，…，故存在，g (n )＝n ＋1.16．若⊗表示一种运算，且有如下表示：1⊗1＝2、m ⊗n ＝k 、(m ＋1)⊗n ＝k －1、m ⊗(n ＋1)＝k ＋2，则2007⊗2007＝________.答案：2008解析：由m ⊗(n ＋1)－m ⊗n ＝k ＋2－k ＝2，取m ＝1，可得数列{1⊗n }是以1⊗1＝2为首项，以2为公差的等差数列，因此1⊗2007＝2＋(2007－1)×2＝4014.又由(m ＋1)⊗n －m ⊗n ＝k －1－k ＝－1，取n ＝2007，得数列{m ⊗2007}是以1⊗2007＝4014为首项，以－1为公差的等差数列，于是2007⊗2007＝4014＋(2007－1)×(－1)＝2008.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且S 3，S 2，S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2|a n |，T n 为数列{1b n ·b n ＋1}的前n 项和，求T n .解：(1)当q ＝1时，S 3＝12，S 2＝8，S 4＝16，不成等差数列．q ≠1时，2a 1(1－q 2)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 4)1－q得2q 2＝q 3＋q 4，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2.∴a n ＝4(－2)n －1＝(－2)n ＋1，(2)b n ＝log 2|a n |＝log 2|(－2)n ＋1|＝n ＋1. 1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2∴T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2). 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解：在数列{a n }中，∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }为等差数列，设公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝10S 6＝6a 1＋6×52d ＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2，∴b n ＝12a n －30＝2n －31∴n ≤15时，b n <0，n ≥16时，b n >0. ∴{b n }的前15项的和最小为－225.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项，已知数列a 1，a 3，ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列．(1)求数列{k n }的通项k n ；(2)求数列{nk n}的前n 项和．解：(1)由已知得(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，解得a 1＝d 或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的通项是a n ＝nd ，因为数列a 1，a 3，ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，即数列d,3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d ，…成等比数列，其公比q ＝3dd＝3，k 1d ＝32d ，故k 1＝9，所以数列{k n }是以k 1＝9为首项，以3为公比的等比数列，故k n ＝9×3n －1＝3n ＋1.(2)令数列{nk n}的前n 项和为S n ，则S n ＝132＋233＋334＋…＋n3n ＋1①13S n ＝133＋234＋335＋…＋n －13n ＋1＋n3n ＋2② ①－②并整理得S n ＝14(1－13n )－n2·3n ＋1.20．(本小题满分12分)(2008·厦门模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1－a n －1＝0，数列{b n }满足b 1＝2，a n b n ＋1＝2a n ＋1b n .(1)求S 200； (2)求b n .解：(1)∵a n ＋1－a n －1＝0，∴a n ＋1－a n ＝1.∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，d ＝1为公差的等差数列．∴S 200＝200×1＋200×1992×1＝20100.(2)由(1)得a n ＝n ，∴nb n ＋1＝2(n ＋1)b n .∴b n ＋1n ＋1＝2·b nn .∴{b n n }是以b 11＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴b n n ＝2×2n －1，∴b n ＝n ·2n . 21．(本小题满分12分)(2009·东北三校联考)(理)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a ＝(S n,1)，b ＝(－1,2a n ＋2n ＋1)，a ⊥b .(1)求证：数列{a n2n }为等差数列；(2)若b n ＝n －2011n ＋1a n ，问是否存在n 0，对于任意k (k ∈N *)，不等式b k ≤bn 0恒成立．(文)已知数列{a n }，满足a n ＋1－2a n ＝0，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2(S n ＋2)，求数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n 的值．解：(理)(1)∵a ⊥b ，∴－S n ＋2a n ＋2n ＋1＝0，－S n ＋1＋2a n ＋1＋2n ＋2＝0，∴a n ＋1＝2a n －2n ＋1，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n －1，∴数列{a n2n }为等差数列．(2)a n2n ＝－2－(n －1)＝－(n ＋1)， ∴b n ＝(2011－n )2n ，令b n ＋1≥b n ，(2010－n )2n ＋1≥(2011－n )2n ，n ≤2009， b n 的最大值为b 2010＝b 2009， ∴n 0＝2009或2010. (文)(1)∵a n ＋1－2a n ＝0，∴a 3＝2a 2，a 4＝2a 3，又a 3＋2是a 2、a 4的等差中项， ∴a 1＝2，a 2＝4，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，则 a n ＝2n .(2)∵S n ＝2n ＋1－2，又b n ＝log 2(S n ＋2)，∴b n ＝n ＋1.∵1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12－1n ＋2.22．(本小题满分12分)(2009·江西九所重点中学联考)(理)已知数列{a n }与{b n }满足关系：a 1＝2a ，a n ＋1＝12(a n ＋a 2a n )，b n ＝a n ＋a a n －a(n ∈N *，a >0)．(1)求证：数列{lg b n }是等比数列；(2)证明：a n －a a n ＋1－a＝32n －1＋1；(3)设S n 是数列{a n }的前n 项和，当n ≥2时，S n 与(n ＋43)a 是否有确定的大小关系？若有，请加以证明，若没有，请说明理由．(文)已知P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，…，P n (a n ，b n )(n ∈N *)都在函数y ＝log 12x 的图象上．(1)若数列{b n }是等差数列，求证数列{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2－n ，过点P n ，P n ＋1的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为c n ，求最小的实数t 使c n ≤t 对n ∈N *恒成立．解：(理)(1)∵a n ＋1＝12(a n ＋a 2a n )，b n ＝a n ＋a a n －a ，∴b n ＋1＝a n ＋1＋a a n ＋1－a ＝12(a n ＋a 2a n )＋a12(a n ＋a 2a n)－a ＝(a n ＋a )2(a n －a )2＝b 2n>0，∴lg b n ＋1＝2lg b n ，又a >0，∴b n ＝a n ＋a a n －a≠1，故lg b n ≠0.因此lg b n ＋1lg b n ＝2，故数列{lg b n }是等比数列．(2)b 1＝a 1＋a a 1－a＝3，∴lg b n ＝(lg3)·2n －1⇒b n ＝32n －1，由b n ＝a n ＋a a n －a 得：a n ＝b n ＋1b n －1·a ＝32n －1＋132n －1－1·a ＝a ＋2a32n －1－1，∴a n －a a n ＋1－a ＝2a 32n －1－12a 32n－1＝32n －132n 1－1＝(32n －1)2－132n 1－1＝32n －1＋1.(3)当n ≥2时，a n ＋1－a ＝a n －a 32n －1＋1≤110(a n －a )，∴当n ＝2时，S n ＝S 2＝a 1＋a 2＝2a ＋54a ＝134a ，(n ＋43)a ＝(2＋43)a ＝103a ，即S n <(n ＋43)a ；当n ≥3时，a 3－a ≤110(a 2－a )，a 4－a ≤110(a 3－a )，…，a n －a ≤110(a n －1－a )，∴S n －a 1－a 2－(n －2)a ≤110[S n －1－2a －(n －2)a ]，∵a 1＝2a ，a 2＝54a ，∴10S n －65a2－10(n －2)a ≤S n －a n －2a －(n －2)a ，∴S n ≤[(n －2)＋6118－32n －1＋19(32n －1－1)]a <(n ＋2518－19)a ＝(n ＋2318)a <(n ＋43)a .综上所述，n ≥2时，S n <(n ＋43)a .(文)(1)数列{b n }是等差数列，设公差为d ，则b n ＋1－b n ＝d 对n ∈N *恒成立，依题意b n ＝log 12a n ，a n ＝(12)b n ，所以a n ＋1a n ＝(12)b n ＋1－b n ＝(12)d 是定值，从而数列{a n }是等比数列． (2)当n ＝1时，a 1＝12，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(12)n ，n ＝1也适合此式，即数列{a n }的通项公式是a n ＝(12)n .由b n ＝log 12a n ，得数列{b n }的通项公式是b n ＝n ，所以P n (12n ，n )，P n ＋1(12n ＋1，n ＋1)．过这两点的直线方程是：y －n(n ＋1)－n＝x －12n12n ＋1－12n可得与坐标轴的交点是A n (n ＋22n ＋1，0)，B n (0，n ＋2)，c n ＝12×|OA n |×|OB n |＝(n ＋2)22n ＋2，由于c n －c n ＋1＝(n ＋2)22n ＋2－(n ＋3)22n ＋3＝2(n ＋2)2－(n ＋3)22n ＋3＝n 2＋2n －12n ＋3>0，即数列{c n }的各项依次单调递减，所以t ≥c 1＝98，即存在最小的实数t ＝98满足条件．。