学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总一直跟着孩子在学而思秋季四年级超常3班听课，有一些有难度的题目，为了孩子们温习和家长们参考，特进行汇总，并给出解题思路和答案，和大家一起分享。
声明：本文档只是收录了各讲有点难度的题目，并对难题进行解析、分级等，并未对各讲内容进行总结和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。
如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。
第一讲整数与数列找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程。
1、【例2】一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于：______，从这列数的第______个数开始，每个都大于2007。
【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】找规律。
第1个：3第2个：6＝3×2第3个：18＝(3+2×3)×2＝3×(1+2)×2＝3×3×2＝32×2第4个：54＝(3+6+18)×2＝(3+3×2+3×3×2)×2＝(3×3+3×3×2)×2＝(3×3×3)×2＝33×2……第n个：3n-1×2这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的3倍(第1、2个数除外)，前8个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。
由公式，第6个数：35×2＝486。
由3n-1×2 > 2007，得3n-1 > 1003.5，n>=8（其实，第6个数是486，第7个数就是486×3＝1458，第8个数1458×3＝4374>2007）。
【答案】486，8。
2、【例5】计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + … + 49×51【难度级别】★☆☆☆☆【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数。
2个数的中间数＝2个数的和除以2，或者＝小的数 + 2个数的间隔的一半（大的数 - 2个数的间隔的一半）。
例如11和19的中间数是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中间数是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。
计算题中平方差的应用主要是找准中间数。
另外，项数要数对了，例如第2道计算题是49项，而不是50项。
(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+…+(502-12)=502×49-(492+482+472+ (12)=2500×49-49×50×99÷6=82075【答案】870，82075。
3、【学案4】计算：2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30【难度级别】★☆☆☆☆【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。
每个乘积的2个数分别提取个2，2×2＝4，相等于提取4。
2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30＝4×（1×2 + 2×3 + 3×4 + … + 14×15）括号内的，例题讲过，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数）。
＝4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + … + 142+14）＝4×[（12+22+32+…+142+）+（1+2+3+…+14）]＝4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）＝4480【答案】4480。
4、【学案1】我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的。
当然本题考孩子的是找规律。
先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的。
1111155555＝1111100000 + 55555＝11111×100000+11111×5＝11111×（100000+5）＝11111×100005（因100005比11111大，想办法变小）＝11111×20001×5（先考虑是5的倍数）＝11111×6667×5×3（再看到20001是3个倍数）＝33333×33335从11111×6667×5×3这个式子可以看出来，11111×3得到3万多，6667×5也得到3万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法）。
找规律，方法如下：1个1，1个5，15＝3×52个1，2个5，1155＝33×353个1，3个5，111555＝333×335……n个1，n个5，11…155…55＝33…3×33…35(都是n位数)所以，5个1，5个5，1111155555＝33333×33335【答案】可以，1111155555＝33333×33335。
5、【学案2】47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】此题，孩子可能无从下手。
先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。
要想奇数最多，肯定越小越好，所以从1、3、5开始考虑，从1、3、5一直加到多少会接近2000呢？假设有n个奇数，第n个奇数是2n-1。
1+3+5+…+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2n=44时，n2=1936；n=45时，n2=2025所以n最大为44，47－44＝3，偶数最多3个。
给出一例：2000=1+3+5+…+85+87+(2+4+58)，保证3个偶数和为64即可（2000-1936=64）。
【答案】最少有3个偶数。
6、【作业1】计算：12345678987654321×9＝_____________【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】这道题，将9变成(10-1)也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律。
12=1112=1211112=1232111112=1234321……数如果是n个1(1<=n<=9)，平方就是1…n…1。
所以12345678987654321×9＝1111111112×9＝111111111×999999999＝111111111×(1000000000－1)＝111111111000000000－111111111＝111111110888888889【答案】111111110888888889。
7、【作业3】非零自然数的平方按照从小到大的顺序连续排列，是：149162536……，则从左向右的第16个数字是________。
【难度级别】★★★☆☆【解题思路】这道题，难度也就一星，但是如果问第160个数字数多少，难度就有3星了。
因为第16个数字再写几个就出来了，但是如果第160个就写不出来只能计算了。
继续写下去，149162536496481100……，所以第16个数字是1。
计算过程如下：平方数是1位的，有1、2、3，共3个。
平方数是2位的，有4、5、…、9，共6个。
平方数是3位的，有10、11、12、…、31，共22个。
平方数是4位的，有32、33、34、…、99，共68个。
因为，31的平方＝961（3位最大的）32的平方＝1024（4位最小的）99的平方＝9801（4位最大的）100的平方＝10000（5位最小的）1×3+2×6＝151×3+2×6+3×22＝811×3+2×6+3×22+4×68＝272从这个结果知道，16-15=1，第16个数字是“平方数是3位”的第1个数字，即：10的平方（100）中1。
160－81＝79，第160个数字是“平方数是4位”的第79个数字，79÷4＝19……3，即：第20个“平方数是4位”的左数第3个，32+20-1=51，51的平方＝2601，左数第3个是0。
所以地160个数字是0。
【答案】1。
8、【作业4】对于每个不小于1的整数n，令a n表示1+2+3+…+n的个位数字。
例如a1＝1，a2＝3，a4＝0，a5＝5，则a1+a2+a3+…+a2007＝_______。
【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】题目不难，但孩子不一定能做出来。
这种题目一看，肯定是周期问题，一定会循环的，此题的关键是，看能否坚持下去，因为到20才出现周期。
题目求的是2007个数字的和。
2007÷20＝100 (7)周期内的20个数字的和＝70，周期内前7个数字的和＝24要求的结果＝100×70+24＝7024【答案】7024。
第二讲巧求面积求面积时需要头脑灵活，但是有些题目方法确实不好想，需要摸索、体会和领悟。
21、【例7】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？【难度级别】★☆☆☆☆米，这个不一定容易看到。
周长相差40米，边长相差10米。
如图，(3)为小试验田，则(1)的面积是100平方米，这是关键点。
40÷4＝10，10×10＝100，220－100＝120，120÷2＝60，60÷10＝6，6×6＝36【答案】36平方米。
22、【作业8】在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。