全国周培源大学生力学
竞赛辅导
材料力学
李娜
1、叠合梁、复合梁
2、截面几何性质
叠合梁是由同种材料的几根梁所组成的梁，具体变形又可分为界面自由和界面固定两种叠合方式。

界面自由：界面固定：各部分的曲率相同，
中性轴不同
M =
Z EI M 21=ρM M 界面自由时，两根梁组成的叠合梁所承担的弯矩是单根
梁的2倍。

相当于一个组合截
面，只有一个中性轴
总Z EI M =
ρ1Z Z I h b I 812
)
2(3
==总08M M =界面固定时，两根梁组成的叠合梁所承担的弯矩是单根
梁的8倍，界面自由时的4倍。

212M M =+=Z
EI 1
1ρ
例题1 自由叠合梁如图，材料的弹性模量为E ，在弯矩M e 作用下，测得交界面AB 处的纵向变形后的长度差为δ，不计梁间的摩擦，求弯矩M e 。

2
21e
M M M =
=解：属于界面自由变形
Z EI M 11
=ρ梁在上下边缘处的应变：1max
2Z e
EW
M E =±=σε上面梁在下边缘处的变形：212Z e EW l
M l l -=-=∆ε下面梁在上边缘处的变形：Z
e EW l M l l 22==∆εZ
e EW l M l l =∆∆=12-δl
Ebh M e 242
δ
=246)2(2
2
11bh h b W W z z ===
1
12
2-A E A E =
221I E I M +I
E M =
2
21I E I +
例题2 第九届竞赛题3
1
Z C
3∆==I
E w 13
）交界面上的不产生相对滑动的剪力
)]1F S
解：（1）根据惯性矩和惯性积的定义
⎰=A x dA z I 2⎰=A z dA x I 2
⎰⋅=A xz zdA
x I 太极图可看成由Ⅱ和Ⅲ组成，其中Ⅰ和Ⅲ面积相同。

I x （Ⅰ）= I x （Ⅲ）I z （Ⅰ）= I z （Ⅲ）I xz （Ⅰ）= I xz （Ⅲ）I x = I x （Ⅱ）+ I x （Ⅲ）= I x （Ⅱ）+ I x （Ⅰ）I z = I z （Ⅱ）+ I z （Ⅲ）= I z （Ⅱ）+ I z （Ⅰ）
Ix z = I xz （Ⅱ）+ I xz （Ⅲ）
= I xz （Ⅱ）+ I xz （Ⅰ）=0I x = I z
由坐标转轴公式，附录A-22。