定理1 适合结合律， 定理 若 ( X,⋅)对二元运算 ⋅ 适合结合律，则对于 任何正整数 m和 n，有 1. x ⋅ x = x 。 ( xm)n = xmn 。 2.
m n m+n
定义4 定义 给定一个代数系统 V = ( X,⋅) ，如果存在 一个元素 e（或者 eR） X 使得对于任意元素 ∈ ， L
例1 一个代数系统 V = (Z,+,×); 另一个代数系统 1
V2 = (Zm,+m,×m)，其中 Zm = {0,1,L m−1} ,
+m和 ×m分别是模 m的加法和乘法运算，即 的加法和乘法运算， x1 +m x2 = x1 + x2
x1 ×m x2 = x1 × x2
这样可定义映射 f : Z →Zm ，即 f (i) = i 的一个同态， 则 f是 V到 V2的一个同态，因为总有 1
第七章 代数结构预备知识
7.1 集合与映射 定义1 是给定的两个集合, 定义 设 S和 T是给定的两个集合 如果有一个 ∈ , 规则 f，使对任意一个元素 x∈S 在 T中有唯一 与之对应， 的一个映射 映射。 的元素 y与之对应，则称 f 是 S到 T的一个映射。 的定义域， 记作 f : S →T和 y = f (x)， 称为 f 的定义域， S y x T 称为 f 的值域， 称为 x的象， 称为 y的原像。 的值域， 原像。
定义5 的代数系统， 定义 设 V = ( X,⋅) 是有单位元 e的代数系统， ∈ 对于 x∈X , 若存在一个元素 x′,使得 x′ ⋅ x = e， 使得 是左可逆的， 的一个左逆元 左逆元； 则称 x是左可逆的，并称 x′是 x的一个左逆元； 是右可逆的， 若存在 x′′ ∈X, 使得 x⋅ x′′ = e, 则称 x是右可逆的， 的一个右逆元 右逆元； 并称 x′′是 x的一个右逆元； 既是左可逆又是右可逆的, 可逆元。 若 x既是左可逆又是右可逆的 则说 x是可逆元。
}是非负整数集合， m 例1 设 A= {0,1,2,L 是非负整数集合， 是一个
正整数， 同余关系。 正整数，令 R是 A中的模 m同余关系。则
1 = {1,m+1,2m+1,L } 2 = {2, m+ 2,2m+ 2,L } L m−1 = {m−1,2m−1,3m−1,L } 0 = {0, m,2m,L }
定理3 定理 设代数系统 V = ( X,⋅)具有单位元 e，且
∈ 适合结合律， 适合结合律，对于 x∈X，x有左逆元 x′，又有
x−1 = x′ = x′′，并且 右逆元 x′′ 则 x有唯一逆元 ，
( x ) = x。
−1 −1
7.4 同构与同态
, 定义1 定义 设 V = ( X,o1,o2,L or ) 和 V2 = (Y,o1,o2,L or ) , 1
映射的合成一般不满足交换律，但满足结合律。 映射的合成一般不满足交换律，但满足结合律。 因此 [γ (βα)](a) = γ ((βα)(a)) = γ (β(α(a))) [(γβ)α](a) = (γβ)(α(a)) = γ (β(α(a))) γ (βα) = (γβ)α
I 定理1 的映射， 定理 设 f 是 A到 B的映射， A和 IB分别是 A与
(R,⋅)是 (S,⋅) 的一个子代数系统或子代数。 的一个子代数系统 子代数。 子代数系统或
定理1 定理 设映射 f : X →Y是从代数系统 ( X,⋅) 到 (Y,∗)的一个同态，则 ( f ( X),∗)是 (Y,∗) 的一个 的一个同态， 子代数， 的同态象。 子代数，并称它是在 f 的作用下 ( X,⋅)的同态象。
定理2 定理 A到 B的映射 f 是左可逆的充要条件是 f 为单射， 是右可逆的充要条件是 f 为满射。 f 为单射， 为满射。 推论： 是可逆映射, 是双射。 推论：f : A→B是可逆映射 当且仅当 f 是双射。
定理3 的映射， 定理 设 f是 A到 B的映射，且 gf = IA, fh = IB， 则 g = h。
7.2 等价关系 定义1 定义 集合 A和 B的笛卡尔积 A×B的任一子集 × R称为 A与 B之间的一个二元关系，它的元素 之间的一个二元关系， 是有序对 (a,b)，记为 aRb ，其中 a∈ A,b∈B。 关系, 当 (a,b)∉R时, 说 a与 b没有 R关系 记作 aRb。
定义2 是集合上的二元关系， 定义 设 R是集合上的二元关系，如果
为一个非空集合。 例1 设 A为一个非空集合。 IA : a →a,∀a∈ A 的一个映射， 上的恒等映射 是 A到 A的一个映射，称为 A上的恒等映射 单位映射。 或单位映射。 定义2 定义2 两个映射 f : A →B , g : A →B2， 1 1 2
∈ 当且仅当 A = A , B = B2，且对任意 x∈ A， 1 2 1 相等的映射， 都有 f ( x) = g( x)，称 f 和 g是相等的映射，
这样， 这样，对任一元素 a∈ A，所有与 a有关系 R的 ∈ 元素构成一个集合， 的一个等价类 等价类， 元素构成一个集合，称之为 A的一个等价类， 记作 a，即 a = {x∈ Ax～ a} 的一个代表元 代表元。 其中 a是该等价类 a的一个代表元。
依据等价关系的定义， 具有以下性质： 依据等价关系的定义，等价类 a具有以下性质： 1. a∈a ∈ 2. 若 b,c∈a，则 b～c。 3. 若 b∈a且 b～ x，则 x∈a。 ∈ ∈
f , 定义3 是一个非空集合， 定义 设 A是一个非空集合， 1, f2,L fs 分别是
, 元运算, 是正整数， A的 k1, k2,L ks 元运算 ki 是正整数， = 1,2,L s 。 i ,
, 称集合 A和运算 f1, f2,L fs所组成的系统为一个
代数系统（或一个代数结构） 简称为一个代数 代数， 代数系统（或一个代数结构）, 简称为一个代数， 代数结构 , 表示。 用记号( A, f1, f2,L fs )表示。 是有限集合时, 也称该系统是有限代数系统。 当 A是有限集合时 也称该系统是有限代数系统。
是等价关系， 显然 R是等价关系，因此
A R = {0,1,L m−1} ,
定理3 定理 集合 A的一个划分可以确定 A的一个 等价关系。 等价关系。 定理4 的一个满射， 定理 设 f是 A到 B的一个满射，则 f 可以确定 一个等价关系。 的 A一个等价关系。 定理5 设 f 是 A到 B的一个满射，则存在唯一 的一个满射， 定理 ∗ ∗ 其中～是由 双射 f : A ～ →B，使 f = f γ，其中 是由 f γ 确定的等价关系， 的自然映射。 确定的等价关系， 是 A到 A ～的自然映射。
∈ 1. 对所有的 a∈ A, 都有 aRa，即 R具有自反性； 具有自反性；
2. 对所有的 a,b∈ A, 若 aRb，则 bRa, 即 R 具有 对称性； 对称性； 3. 对所有的 a,b,c∈ A，若 aRb,bRc ，则 aRc ， 具有传递性。 即 R具有传递性。 上的等价关系 用符号～表示。 等价关系。 则称 R是 A上的等价关系。用符号～表示。
记为 f = g 。
定义3 的一个映射。 定义 设 f是 A到 B的一个映射。 1. 若对任意 ai ≠ aj ,ai ,aj ∈ A, 都有 f (ai ) ≠ f (aj )， 称 f 是 A到 B的单射。 单射。 2. 若 f ( A) = B，则称 f 是 A到 B的满射。 满射。 3. 若 f 既是单射又是满射 则称它是 A到B的双射。 既是单射又是满射, 双射。
定理1 定理 设～是 A上的一个等价关系 对任意元素 是 上的一个等价关系,
a,b∈ A，若非 a = b，则有 aIb =φ。
, 定理2 上由等价关系～ 定理 设 a1,a2,L an 是 A上由等价关系～确定 的全部等价类， 的全部等价类，那么
i=1
Ua = A, ai ຫໍສະໝຸດ aj =φn等价类的集合, 称为等价类族 等价类的集合 称为等价类族 记为 A= {aa∈ A} 关于～的商集 的商集。 常用记号 A ～ 表示 A, 并称之为 A关于 的商集。
定义5 定义 设 f : X →Y 是从 ( X,⋅) 到 (Y,∗) 的一个 同态， 同态，如果 1. f是单射，称 f 是单一同态。 是单射， 单一同态。 2. f 是满射，称 f 是满同态，用表示 X～ ， 是满射， 满同态， Y 的一个同态象。 并称 Y是 X的一个同态象。 3. f是双射，则 f 是同构。 是双射， 同构。
中的恒等映射， B中的恒等映射，则 IB f = f , f IA = f
定义5 定义 设两个映射 f : A→B, g : B → A，若 gf = IA 成立，则称 f 是左可逆映射，g是 成立， 左可逆映射， f 右可逆映射， 的左逆映射， 右可逆映射，并称 g是 f 的左逆映射， 是 g的 右逆映射。 也成立， 右逆映射。又若 fg = IB也成立，则称 f 和 g都 是可逆映射。 可逆映射。
x∈X，有 eL ⋅ x = x 或 x⋅ eR = x ），称 eL ∈ ），称 （
的一个左（或右） （或 eR）是 X上关于运算 ⋅ 的一个左（或右） 单位元。 单位元。 既是左单位元又是右单位元, 则称之为单位元。 若 e既是左单位元又是右单位元 则称之为单位元。
定理2 定理 若代数系统 V = ( X,⋅)有左单位元 eL, 又有 的唯一的单位元。 右单位元 eR, 则 e = eL = eR 是 X的唯一的单位元。
恒有
f (a⋅ b) = f (a)∗ f (b)
的一个同构映射， 则称 f 是 ( X,⋅)到 (Y,∗)的一个同构映射， 同构， 表示。 并称 ( X,⋅)与 (Y,∗)同构，用 X ≅Y表示。
定义3 是两个同类型的代数系统， 定义 设 ( X,⋅) 和 (Y,∗) 是两个同类型的代数系统， f是 X到 Y 一个映射。如果对任意的 a,b∈X ， 一个映射。 都有 f (a⋅ b) = f (a)∗ f (b) , 则称 f 是 ( X,⋅)到 (Y,∗) 的一个同态映射，简称同态。 的一个同态映射，简称同态。 同态