Graphs/图论
三、子图和补图
定义 无向简单图G＝<V,E>中，若每一对结点间都有 边相连，则称该图为完全图。有n个结点的无向完全 图，记作Kn。 图10：
K 4图
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定理 4 证明：
n个节点的无向完全图Kn的边数为：(1/2)*n*(n-1)。
在Kn中，任意两点间都有边相连，n个结点中任取两 点的组合数为：cn = (1/2)*n*(n-1) 故Kn的边数为： |E| ＝(1/2)*n*(n-1)。 （证毕）
推论：在一个具有n个结点图中，若从结点u到结点v存在 一条路，则必存在一条从u到v而边数小于n的通路。 删去所有结点s到结点s 的那些边，即得通路。
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二、无向图的连通性
定义 在无向图G中，结点u和结点v之间若存在一条路， 则称结点u和结点v是连通的。
连通性是结点集合上的一种等价关系。
证明： 设：V1 ：图G中度数为奇数的结点集。 V2：图G中度数为偶数的结点集。 由定理1可知
vv 1
deg( v ) deg( v ) deg( v ) 2 | E |
vv 2 vV
因为
vv 2
deg( v) 为偶数。 deg(v) 和2|E|均为偶数，所以 v v1
b
b
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四、图的同构
定义 设图G=<V,E> 及G’=<V’,E’>，如果存在一一对 应的映射ｇ：V → V’且ｅ=(vi ，vj)(或<vi ，vj>)是Ｇ的一条 边，当且仅当ｅ’=(g(vi ) ，g(vj))(或 <g(vi ) ，g(vj)>是Ｇ’的 一条边,则称Ｇ与G’同构，记作Ｇ ～ －G’ 。
2
定义 如果在Kn中，对每一条边任意确定一个方向，就称 该图为n个结点的有向完全图。 |E|＝(1/2)*n*(n-1)
Graphs/图论
对任给的一个图G，总可以将他补成具有相同结点的完 全图。 定义 给定一个图G，由G中所有结点和所有能使G成为 完全图的添加边组成的图，称为Ｇ的相对于完全图的 － 补图，记作Ｇ。 － Ｇ=<V,E>与Ｇ=<V’,E’> 的关系： 1)V’=V 2)|E+E’|= (1/2)*|V|*(|V| -1) 例： 互为补图

三、有向图的可达性
定义 在有向图G＝<V,E>中，若从结点u到结点v有一条 路，则称u可达v。
“可达性”是结点集合上的什么关系？ 自反，传递
Graphs/图论
结点u,v之间的路可能不止一条，在所有这些路中，最短 路的长度称为结点u到v的之间的距离，记作d(u,v)。 其满足下列性质： (1) d(u,v)≥0 (2) d (u,u)＝0 (3) d (u,v) ＋ d (v,w) ≥ d (u,w) (4) 若u,v不可达，则d (u,v) = ∞ (5) d (u,v )不一定等于d (v,u ) (6) 图的直径：D=max {d(u,v)｜u,v ∈V} (7) 距离的概念在无向图中也适用
b
c s为割点
b
c
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图19 s 点割集不唯一 v
u
图G的点连通度k(G) ＝min{ |V1| | V1是Ｇ的点割集} 为了产生一个不连通图需删除的点的最小数目。
若G为不连通图，则k(G)=0 若G存在点割集，则k(G)=1 若G为Kp，删去m个节点(m<p-1)后仍为连通图，
若G为不连通图，则λ(G)=0 若G为平凡图，定义λ(G)=0 若G为Kp， λ(Kp)＝ p-1。 若G存在割边，则k(G)=1
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定理2
对任一图G，有 k(G) ≤λ(G) ≤ δ(G)
证明：见书Ｐ283 定理3 一个连通无向图G中结点v为割点的充分必 要条件是存在两结点u,w，使得u和w之间每一条路都 经过v。 证明：见书Ｐ284
(a)
(b)
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定义 设图G＝<V,E> ，如果有图G’=<V’,E’>且E’ ⊆ E， V’ ⊆ V，则称G’为G的子图。 注意：Ｇ’是图隐含着Ｅ’中的边仅关联于Ｖ’中的结点。 定义 如果G 的子图包含G的所有结点，则称该子图 为Ｇ的生成子图。 （即E’ ⊆ E， V’ ＝ V） a a 图12： a c c b (a) b (b) (b)为(a)的子图 b (c) (c)为(a)的生成子图
φ(e1)=(a,b), φ(e2)=<a,d>, φ (e3)=(a,c), φ (e4)=(b,d) , φ (e5)=<c,b>, φ (e6)=(c,d)
相关概念
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2、相关概念 a)无向边： 若边ei与结点无序偶（vi,vj ）相关联。 b)有向边： 若边ei与结点有序偶<vi,vj>相关联。其中 vi为ei起始结点，vj为ei的终止节点。 c)无向图： 每一条边都为无向边的图。 d)有向图： 每一条边都为有向边的图。 e)混合图： 图中一些边为有向的，而另一些边为无向的 。 图2： e1 图3： 有向图
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定义 设G’=<V’,E’>是图G=<V,E> 的子图，若给定另外 一个图G”=<V”,E”>使得E”=E－E’，且V”中仅包 含E”的边所关联的结点，则称G”是子图G’ 相对于图 G的补图。 即无孤立结点 图13： a a d
d c
d c b G” c
G G’ G”是子图G’ 相对于图G的补图 G’ 是子图G”相对于图G的补图吗？
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定义 在简单有向图G中，任何一对结点间，至少有一个结 点到另一个结点是可达的，则称这个图是单侧连通的；若 图G当中的任何一对结点之间是相互可达的，则称这个图是 强连通的；如果在图G中，略去边的方向将它看成无向图 后，图是连通的，则称该图是弱连通的。 图20 a b 强连通=>单侧连通＝>弱连通 a a b b a b
删去p-1个结点成为平凡图，故定义k(Kp)＝ p-1。
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定义 设无向图G=<V,E>为连通图，若有边集E1 E，使 图G删去E1中所有边后所得子图是不连通图，而删去E1 的任一真子集所得的子图仍连通图，则称E1为G的边割 集。若一条边构成一个边割集，则称该边为割边或桥。 图G的边连通度λ(G) ＝min{ |E1| | E1是Ｇ的边割集} 为产生一个不连通图需要删除的边的最少数目。
划分V1 , V2 , … , Vm 子图G(V1) , G(V2) , … , G(Vm)
G(Vi)称为 连通分支
连通分支数记为W(G)
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定义 图16
若图Ｇ只有一个连通分支，则称Ｇ是连通图。
a
d c
(a) 两个连通分支的非连通图
b
(b) 连通图
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使连通图成为不连通图，可以通过删除点，或删除边。 图17 e
d (a) 强连通
c
d (b)
c
d (c)
c
d (d) 弱连通
c
单侧连通
弱连通
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起点：v0 终点：vn v0＝ vn时，路为回路； 迹：若一条路中所有的边e1, e2 , e3,……en各不相同； 通路：若一条路中所有的结点v0，v1…..vn各不相同； 圈(闭的通路)：除v0＝ vn外，其余结点均不相同的路。
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ae2ce3be4de7ee5be3c 路 ce3be4de7ee5be3c ae1be4d e8ee5be3c ae1be4de8ee6c ae1be4de8ee6ce2a 回路 迹 通路 圈
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第七章 图论
图论起源于一些数学游戏难题，如迷宫 问题，匿门博弈问题，棋盘上马的行走路线， 哥尼斯堡七桥问题等。在这些问题的研究基 础上，图论的应用非常广泛，主要有运筹学、 网络理论、信息论、控制论、博奕论及计算 机科学等等 ... 我们这里只介绍一些基本概念和定理。
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k)自回路／环： 关联于同一结点的一条边。（自回路 既可作为有向边有可作为无向边） 图6： e1 b e3 a e2
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l )有向图平行边： 两结点间(包括结点自身间)同始点且 同终点的边。 m)无向图平行边：两结点间(包括结点自身间)的多条边 图7： 图8：
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定义 含有平行边的任何一个图称为多重图，非多重图称 为线图，无自回路的线图称为简单图。
7－1 图的基本概念
一、图
1、什么是图（Graphs)? d a c 由一些点和一些连接 两点间的连线组成。
定义
b 一个图是一个三元组<V(G), E(G), Ψ(G)>，其中 E(G):边的集合； Ψ(G):从边集合E到结点无序偶(有序偶)上的函数。
V(G):非空结点的集合；
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a 例: 图1： b e5 c V(G)={a,b,c,d}; E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6}; e1 e3 e4 e6 e2 d 若图中的边ei总 是与两个结点关 联，那么图可简 记为Ｇ=<V,E>
多重图
多重图
线图
简单图
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二、结点的度数
定义 在图 G=<V,E> 中，与结点v (v ∈V)关联的边 数，称作该结点的度数，记作deg(v) 。 说明

每个环在其对应的结点上度数增加2。 图G的最大度 Δ(G)=max{deg(v)| v∈V} 图G的最小度 δ(G)= min{deg(v)| v∈V} Δ(图8）＝6； δ(图8）＝3 。 图8：