专题11.7 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0ky k x=≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0ky k x=≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.特别说明：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 特别说明：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k xky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k xky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=， 当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较（4）反比例函数y＝中k的意义①过双曲线xky=(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k.②过双曲线xky=(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、（2020·广西梧州市·）已知反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，8）．求这个反比例函数的解析式．【答案】y＝16x-【分析】把点（﹣2，8）代入解析式根据待定系数法即可得解． 解：∵反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象经过点（﹣2，8）． ∵8＝2k-， ∵k ＝﹣16，∵反比例函数的解析式为y ＝16x-． 【点拨】本题主要考查求解反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 举一反三：【变式】（2020·临武县南强乡中学九年级月考）反比例函数ky x=的图象经过点A （2，-8）．（1）求这个函数的表达式；（2）请判断点B （-4，4）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）16y x=-（2）在这个反比例函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）把点A 的坐标代入函数解析式来求k 的值； （2）把点B 的坐标代入函数解析式进行验证． 解：（1）∵反比例函数ky x=的图象经过点A （2，-8）， ∵82k -=， 解得 k ＝−16．则该函数解析式为：16y x=-； （2）点B （-4，4）在这个反比例函数的图象上，理由如下：由（1）知，函数解析式为：16y x=-． ∵当x ＝−4时，164y =--＝4， ∵点B （-4，4）在这个反比例函数的图象上．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．经过函数的某点一定在函数的图象上．类型二、反比例函数的图象及性质2、（2021·山东淄博市·九年级期末）已知反比例函数2y x=-，则该反比例函数的图象经过哪几个象限( ) A ．一、二象限 B ．一、三象限C ．二、三象限D ．二、四象限【答案】D【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案． 解：反比例函数2y x=-中20k =-<， ∴图象位于二、四象限，故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是了解比例系数的符号与图形位置的关系，难度不大． 举一反三：【变式】 （2021·山东潍坊市·九年级期末）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中满足120k k ⋅>且10k <的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据120k k ⋅>可知1k 和2k 同号，再由10k <得到20k <即可求解． 解：由题意可知120k k ⋅>，故1k 和2k 同号，又10k <得到20k <， 此时正比例函数1y k x =经过第二、四象限，反比例函数2k y x=在 第二、四象限，故选项D 正确； 故选：D ．【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的图像及性质，属于基础题，熟练掌握图像性质是解决本题的关键．3、（2021·湖南怀化市·九年级期末）若()()()1233,,2,,1,A y B y C y --三点都在函数1y x=-的图象上，则123y y y ，，的大小关系是（ ）A ．123y y y << B ．123y y y >>C ．132 y y y <<D ．无法确定【答案】A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论．解：∵点A （3，y 1），B （-2，y 2），C （-1，y 3）在反比例函数1y x=-的图象上， ∵y 1=13-，y 2=12，y 3=1， 又∵13-＜12＜1，∵y 1＜y 2＜y 3．故选择：A ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值是解题的关键． 举一反三：【变式1】 （2021·福建省福州杨桥中学九年级月考）已知点()()1122,,,x y x y 是反比例函数5y x=图象上的两点，且120x x <<，则1y 、2y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】B【分析】根据反比例函数系数的正负判断它的增减性． 解：∵反比例函数5y x=的系数大于0， ∵在第一象限内，y 随着x 的增大而减小， ∵120x x <<， ∵120y y >>． 故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的增减性． 【变式2】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与xba y +=在同一坐标系中的图象不可能是( ) .【答案】B ；提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是<0,0a b <，则0a b +<，对于反比例函数来说，0a b +>，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.4、 （2021·安徽合肥市·九年级期末）如图，反比例函数ky x=的图象经过矩形ABCD 的顶点D 和BC 边上中点E ，若△CDE 面积为2，则k 的值为_______【答案】8【分析】设E 的坐标是（m ，n ），k ＝mn ，则C 的坐标是（m ，2n ），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．解：设E 的坐标是（m ，n ），则k ＝mn ，点C 的坐标是（m ，2n ），在y ＝mnx中，令y ＝2n ， 解得：x ＝2m ， ∵S ∵CDE ＝2， ∵12|n|•|m−2m |＝2，即12n×2m ＝2， ∵mn ＝8． ∵k ＝8． 故答案是：8．【点拨】本题考查了反比例函数与矩形的综合，设E 的坐标是（m ，n ），利用m ，n 表示出三角形的面积是关键． 举一反三：【变式】 （2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学九年级月考）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 如图摆放，点A 的坐标为(1,0)-，点B 坐标为(0,2)，点D 在反比例函数 (0)ky k x=<图象上，将正方形沿x 轴正方向平移m 个单位长度后，点C 恰好落在该函数图象上，则m 的值是_______．【答案】1【分析】作DE∵x 轴于E ，CF∵y 轴于F ，如图，先证明∵ADE∵∵BAO 得到DE=OA=1，AE=OB=2，则D （-3，1），用同样方法可得C （-1，3），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=-3，再计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后确定平移的距离． 解：作DE x ⊥轴于,E CF y ⊥轴于F ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，,90AD AB DAB ︒∴=∠=，90EAD BAO ︒∴∠+∠=，而90EAD ADE ︒∠+∠=， BAO ADE∴∠=∠，在ADE 和BAO 中AED AOB ADE BAO AD BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE BAO ∴≌，1,2DE OA AE OB ∴====，(3,1)D ∴-，同理可得CBF BAO ≌，1,2BF OA CF OB ∴====， (2,3)C ∴-，∵点D 在反比例函数(0)ky k x=<图象上， 313k ∴=-⨯=-，C 点的纵坐标为3，而3y =时，则33x=-，解得1x =-， ∵点C 平移到点(1,3)-时恰好落在该函数图象上， 即点C 向右平移1个单位，1m ∴=．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了平移变换．类型三、反比例函数与一次函数综合5、（2020·西安市第二十三中学九年级月考）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数ay x=的图象交于()()422,A B c -，,两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求AOB 的面积；（3）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【答案】（1）8,2y y x x=-=--；（2）6；（3）4-＜x ＜0或x ＞2. 【分析】 （1）由ay x=过()42A -，，利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求B 的坐标，再利用,A B 的坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式即可得到答案； （2）连接,OA OB ， 利用一次函数的解析式求解C 的坐标，再利用AOBAOCBOCS SS=+，即可得到答案；（3）由反比例函数的值大于一次函数的值，则反比例函数图像在x 的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方，结合图像可得答案． 解：（1）ay x=过()42A -，， 2,4a ∴=- 8,a ∴=-∴ 反比例函数为：8,y x=-把()2,B c 代入8,y x=-84,2c ∴=-=-()24B ∴-，，把()()4224A B --，，，代入y kx b =+得： 4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩12k b =-⎧∴⎨=-⎩所以一次函数为：2y x =--．（2）如图，连接,,OA OB 记AB 与x 轴交于C ，令0,y = 则20,x --=2,x ∴=-()20C ∴-，11222,22AOC A SOC y ∴==⨯⨯= 11244,22BOC B S OC y ==⨯⨯= =2+4=6.AOBS ∴ （3）由反比例函数值大于一次函数值可得，反比例函数图像在x 的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方，所以此时：4-＜x ＜0或x ＞2. 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，坐标系内图形的面积的计算，利用函数图像解不等式，掌握以上知识是解题的关键． 举一反三：【变式】（2021·山东临沂市·九年级期末）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于(2,3),(,1)A B m -两点． （1）试求m 的值和一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出k ax b x>+的x 的取值范围；（3）求AOB ∆的面积．【答案】（1）6m =-，一次函数的解析式为：142y x =+；（2）20x -<<或6x <-；（3）8．【分析】（1）将(2,3)A -代入反比例函数k y x=，解得k 的值，即可知反比例函数的解析式，再将点(,1)B m 代入反比例函数中，解得B 的坐标，最后利用待定系数法解得直线AB 的解析式，据此解题；（2）结合图形信息，欲求k ax b x>+中x 的取值范围，即反比例图象位于一次函数图象的上方，即图象在点B 的左侧或图象在点A 的右侧，据此解题； （3）先解得一次函数142y x =+与x 轴、y 轴的交点C D 、的坐标，再结合AOB COD BOC AOD S S S S ∆∆∆∆=--解题即可．【详解】解：（1）根据题意，把(2,3)A -代入反比例函数k y x =得：6k =-， 则反比例函数解析式为6y x=-，将(,1)B m 代入上式得6m =-，即(6,1)B -， 再将(2,3)A -、(6,1)B -分别代入y ax b =+，得2361a b a b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得124a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∵一次函数的解析式为142y x =+，6m =-； （2）因为一次函数与反比例函数的交点为(2,3)A -、(6,1)B -，根据图象得： k ax b x>+的取值范围为：20x -<<或6x <-； （3）令一次函数142y x =+与x 轴、y 轴的交点分别为C D 、，则(8,0)C -、(0,4)D ∵AOB COD BOC AOD S S S S ∆∆∆∆=--111848124222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 1644=--8=答：AOB ∆的面积为8．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．类型四、反比例函数应用6、 （2020·山东东营市·八年级期末）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()a P K 是气体体积3()V m 的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这一函数的解析式．(2)当气体的体积为3l m 时，气压是多少?(3)当气球内的气压大于150a Kp 时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少?【答案】（1）60P V =；（2）60KPa ；（3）30.4m 【分析】（1）设k P V =，A （0.5,120）在反比例函数k P V=上，即可求得反比例函数解析式； （2）把V=1代入（1）中的函数关系式求P 即可；（3）依题意P≤150，即60150V ≤，解不等式即可． 【详解】（1）设k P V=， ∵A （0.5,120）在反比例函数k P V =上 ∵ 1200.5k =∵ k ＝60 ∵ 60P V=； 故答案为：60P V= （2）当V ＝1m3时，601P ==60（KPa ）； 故答案为：60KPa（3）当P ＞150KPa 时，气球将爆炸，∵P≤150， ∵60150V≤， 解得V 60150≥=0.4（m3）． 故答案为：为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m3）．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，将实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．举一反三：【变式】（2020·湖南株洲市·九年级期中）方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶速度为v （单位：千米/小时），且全程速度不超过120千米/小时．（1）求v 关于t 的函数表达式，并写出t 的取值范围；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A 出发．∵方方需要当天12点48分至14点之间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围． ∵方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由．【答案】（1）480(4)v t t =≥；（2）∵80100v ≤≤；∵方方不能在11点30分前到达B 地.【分析】(1)由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；(2)∵8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v 关于t 的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；∵8点至11点30分时间长为3.5小时，将其代入v 关于t 的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．解：(1)根据题意，得480vt =， ∵480v t=， ∵4800>，∵当120v ≤时，4t ≥， ∵480(4)v t t=≥， 故答案为480(4)v t t =≥． ∵根据题意，得4.86t ≤≤，∵4800>， ∵4804806 4.8v ≤≤， ∵80100v ≤≤，故答案为：80100v ≤≤．∵方方不能在11点30分前到达B 地．理由如下：若方方要在11点30分前到达B 地，则 3.5t <，∵4801203.5v>>，所以方方不能在11点30分前到达B地．故答案为：不能．【点拨】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．。