概率论与数理统计复习题（1）一． 填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。

8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。

四． X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。

（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)；五． （X,Y ）的概率密度 ⎩⎨⎧<<<<+=otherwise,020,42 ),2(),(y x y kx y x f 。

求 （1）常数k ；（2）X 与Y 是否独立；（3）XY ρ；六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填入表中空白处.七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。

用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有①⎩⎨⎧⎰⎰==⋅c c x f x f x 001)(32)( 即 ⎩⎨⎧⎰⎰==c c kxdx dx kx 002132}⇒{12==c k ②由①知x 的密度函数为{1020)(<<=x x x f 其他 当x 时0≤ ()0=x F ；当10<<x 时 ()()202x tdt dt t f x F x x ===⎰⎰∞- 当1≥x 时 ()()⎰⎰===∞-1012xdx dt t f x F x五、由（x 、y ）联合密度的性质有：①．()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1,dxdy y x 即()361124220=⇒=+⎰⎰k dxdy y kx ②． 由①可求出（x ，y ）的联合密度：()()其他20,,4202361,<<<<⎪⎩⎪⎨⎧+=y x y x y x f ()()()y f x f y x f Y X ⋅=∴, 故x, y 相互独立。

③． 由②知()y x ,相互独立。

0=∴xy ρ六、略七、解：令x 为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N （10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N （60，59.64）设A ：保险公司一年内的利润不少于60000元。

即A ：10000*12-1000x ≥6000060≤⇒x概率论与数理统计复习题（2）一.选择题（18分，每题3分）1．设B A ,为随机事件，且1)|(=A B P ，则必有)(A A 是必然事件；)(B 0)|(=A B P ；)(C B A ⊂； )(D B A ⊃.2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。

共进行4次，记X 为红球出现的次数，则X 的数学期望=)(X E)(A 1016； )(B 1024； )(C 104； )(D 10642⨯. 3．设随机变量X 的分布密度函数和分布函数为)(x f 和)(x F , 且)(x f 为偶函数,则对任意实数a ,有4．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从均匀分布的随机变量是5．已知随机变量X 和Y 都服从正态分布:)3,(~,)4,(~22μμN Y N X , 设)4(1+≥=μX p ,)3(2-≤=μY P p , 则)(A 只对μ的某些值,有21p p = )(B 对任意实数μ,有21p p <)(C 对任意实数μ,有21p p > )(D 对任意实数μ,有21p p =6．设22,),(~σσμN X 未知，则μ的置信度为%95的置信区间为二. 填空题（21分，每题3分）1． 已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为)(X E = ,)(X D4. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率=>>),(b Y a X P .5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，3211)22(3ˆX k X kX -++=μ是μ的无偏 估计量则常数=k6．设（621,,,X X X Λ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .7．设离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X .三. 计算题 （54分，每题9分）1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。

出厂的产品n 件装一箱，并以箱为单位出售。

由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求：（1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率2．设二维随机变量（X,Y ）在区域 }||,10|),({x y x y x G ≤≤≤= 上服从均匀分布。

求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .3．已知随机变量）；，；，091.045.0(~),(N Y X ，Y X Z -=2， 试求：方差)(Z D ，协方差)(Z X COV ，，相关系数Z X ρ4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。

根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。

现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。

（9680.0)856.1(=Φ）5．设12,,,n X X X L 是取自总体X 的一个样本，总体~X ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=-)1,0(,0)1,0(,),(1x x x x f θθθ ，)0(>θ。

试求：(1) 未知参数θ的矩估计量θ)；(2) 未知参数θ的极大似然估计量L θ)；(3) )(2X E 的极大似然估计量.6．某种产品的一项质量指标)(~2σμ，N X ，在5次独立的测试中，测得数 据（单位：cm ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（0.05α=）（1） 可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm ？（2） 若指标的标准差015.0≤σ，是否可认为这次测试的标准差显着偏大？ 附 分布数值表概率论与数理统计复习题（2）答案一. 选择题（18分，每题3分）c b a cd b二. 填空题（21分，每题3分）1． 62.0； 2． 24； 3． 4/3 9/4 4． ),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+；5． 4 ； 6． 1/3 2； 7． 0,1三. 计算题（54分，每题9分）1． 解：令 A={取出为正品}， t B ={箱子中有t 个正品}，n t ,,2,1,0Λ= . 由已知条件，11)(+=n B P t ，nt B A P t =)(,n t ,,2,1,0Λ=，（1）由全概率公式，∑∑===+==n t t t nt t n n B A P B P A P 0021111)()()(, （2）由Bayes 公式，)1(21)()()()(+==n A P B A P B P A B P n n n . 2. 解： ⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f X3．解：9.0)(=Z E 25)(=Z D4．解：设i X 为第I 位学生的得分)100,2,1(Λ=i ，则总得分∑==1001i i X X5．解：（1） 矩估计量 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ) （2） 极大似然估计量 212ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑-n i i L X n θ)（3） )(2X E 的极大似然估计量 ∑=+=+=n i i L L X n n X E 12222)ln (22)(ˆθθ))7. 解：（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠. 当0H 为真，检验统计量 )1(~/0--=n t n S X T μ 0.0252(1)(4) 2.7764t n t α-== ， 拒绝域 (, 2.7764][2.7764,)W =-∞-⋃+∞ 221.246,0.0288x s ==， [ 221.23,0.0224x s == ]0 1.242T W =∉，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ]（2）假设 222201:0.015;:0.015H H σσ=>.当0H 为真，检验统计量 )1(~)1(22022--=n S n χσχ220.05(1)(4)9.488n αχχ-==， 拒绝域 [9.488,)W =+∞. 2014.86W χ=∈，拒绝0H .概率论与数理统计复习题（3）一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( )2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( )3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) rn r r n p p C ----)1(11； (b) r n r r n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p p C ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P .(ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设),,,(21n X X X Λ为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ))(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-； (ｃ))1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X Λ为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为? 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31，1.55，1.34，1.40，1.45 .α作假设检验.问这天的纤度的总体方差是否正常？试用%=10四.证明题（7分）设随机变量ZX+B.试证明随机变量Y,1(pY,相互独立且服从同一贝努利分布)X,与Z相互独立.附表：标准正态分布数值表2χ分布数值表t分布数值表概率论与数理统计复习题（3）参考答案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 .二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f yY ； 3.0.9772 ；4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(x y x x x y f X Y ；5. ),1(m F6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 .四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2.⎩⎨⎧>=-其他)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他0)(y e y f yY μμ (1分)0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1Λ=i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i i X Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分) 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg .[ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)()n i i X X n X X nX X ---+--=-ΛΛ)1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn 122-=σ令=(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量 )1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.02<==χ,落在拒绝域内，] 故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、 证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p q P 2q pq 2 2p (2分))0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ；)1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；)1,1)12(2=()1(PXZP；YXYpqP=+===+Z=)0(2=,2()0()2pqXYPYP；XZ==P+=+Z==,2(3=)1()1()2pPXZXP.YY+==P==+Z=所以YX+与Z相互独立. (5分)概率论与数理统计复习题（4）及参考答案1：2：3：4：5：6：7：8：10：答：增大样本容量二：11：12：14：15：16：17：18:19:20：21：证明题：复习题（5）答案与评分标准一．填空题（82142'=⨯'）1．已知41)(=A P ,31)(=A B P ,21)(=B A P ,则=)(B A P Y 31。