2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答
案）
一、解答题
1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.
解：球的半径为R ==
设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14
即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.
2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：
πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x
=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，
故所求特解为 1(π1cos )y x x
=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x
='+-== . 解：2
2323d 3ln x x x x c x
--=--+⎰ 2
2
223323d 23
+3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以x =1,y =0代入上式，得12e
c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．
解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t
=⎧⎨=⎩，t ：0→π2
()()
()()
π2022π
2
0π2220
22d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222L
W kx x ky y ka t t kb t b t t k b a t t
k b a t k b a =+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)
4．设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量：
(1)沿圆周221,0x y z +==；
解：2π
(2)沿圆周()2
251,0x y z -+==.
解：2π
5．证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。

6．求下列齐次方程的通解：
(1)0xy y '-=;
解：d d y y x x =+令 d d d d y y u u u x x x x
=⇒=+ 原方程变为
d x x = 两端积分得
ln(ln ln u x c =+
u cx
y cx x +=+= 即通解为：
2y cx =
d (2)ln d y y x y x x =;。