全国教师教育网络联盟专科起点升本科高等数学复习资料目录第一章函数 (1)一、内容提要 (1)二、典型例题 (2)第二章极限与连续 (5)一、内容提要 (5)二、典型例题 (7)第三章导数与微分 (12)一、内容提要 (12)二、典型例题 (14)第四章导数的应用 (18)一、内容提要 (18)二、典型例题 (20)第五章不定积分 (25)一、内容提要 (25)二、典型例题 (26)第六章定积分及其应用 (30)一、内容提要 (30)二、典型例题 (31)第七章多元函数微积分 (34)一、内容提要 (34)二、典型例题 (37)第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。
当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。
（2）定义中两要素：定义域与对应法则。
定义域：自变量x的取值范围。
对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。
（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。
分段函数是一个函数而不是几个函数。
2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=ϕ(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=ϕ(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。
（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。
3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。
4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。
5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=ϕ(x)，而且当x在某一区间I 取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[ϕ(x)]。
（2）几个注意的问题：①复合函数可以简单地理解为函数的函数。
有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。
例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。
②要使复合函数y=f[ϕ(x)]有意义，必须满足函数u=ϕ(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。
6、基本初等函数与初等函数（1）基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
（2）初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
二、典型例题1、函数定义域 例1 求函数y=211x x--的定义域 解 要使函数表达式有意义，x 要满足： ⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即 ⎩⎨⎧≤≤-≠110x x所以函数的定义域为[-1，0) (0，1]. 例2 求函数)1lg(4)(--=x xx f 的定义域.解 要使函数表达式有意义，x 要满足：⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-0)1lg(0104x x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≠>≤214x x x 所以函数的定义域为（1，2） （2，4]. 例3 求函数f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤21,110,1x x 的定义域.解 函数f(x)的定义域是[0，2].例4 设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+a )的定义域. 解 f(x)的定义域为[0，1] ∴01≤≤x由01≤+≤a x 得a x a -≤≤-1 所以函数f(x+a )的定义域为[-a ，1-a ] .小 结所谓的函数的定义域就是自变量x 的允许取值范围，因此（1）对于用数学表达式表示的函数，其定义域就是使表达式有意义的x 的取值范围，因此要注意某些运算对函数的限制。
一些常见的限制有：①在分式中的分母不能为零； ②在根式中负数不能开偶次方根； ③在对数中，真数要大于零；④在反三角函数中，要符合反三角函数的定义域。
（2）对于已知f(x)的定义域，要求y=f[ϕ(x)]的定义域，只要将f(x)中的x 的变化范围当成ϕ(x)的变化范围，再从中解出x 的变化范围，这个x 的变化范围就是函数 f[ϕ(x)]的定义域。
例如，函数f(x)的定义域为[1，2]，则可得f(ax)（a>0）的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡aa 2,1。
（3）对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。
（4）如果函数的表达式由若干项组成，它的定义域是各项定义域的公共部分。
2、函数值与函数记号例1 若f(x)=x 3+1，求f(x 2)，[f(x)]2，f(0)及f(a+1). 解 f(x 2)=(x 2)3+1=x 6+1.[f(x)]2=(x 3+1)2=x 6+2x 3+1 f(0)=03+1=1， f(a+1)=(a+1)3+1.例2 设f(x+1)=x 2+4x-3，求f(x)，⎪⎭⎫⎝⎛x f 1. 解 令x+1=t ，解得x=t-1，代入原式得 f(t)=(t-1)2+4(t-1)-3=t 2+2t-6 . 故 f(x)=x 2+2x-6 .⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1=).621(16121222x x x x x -+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛例3 设f(x)=11+x ，求（1）f(x-1)；（2）f(x)-1；（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1； （4）f [⎪⎭⎫⎝⎛x f 1]. 解 （1）f(x-1)=xx 11)1(1=+-（2）f(x)-1=1111+-=-+x xx （3）⎪⎭⎫⎝⎛x f 1=1111+=+x x x （4）f [⎪⎭⎫⎝⎛x f 1]=f 1211111++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x xx x例4 设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<<<-,21,2,10,,0,11x x x x x 求f(-2)，f ⎪⎭⎫⎝⎛21，f(1.5) .解 f(-2)=31121-=--f ⎪⎭⎫⎝⎛21=21f(1.5)=2小 结（1）已知函数f(x)的表达式，要求某一点x 0的函数值f(x 0)或求函数f[ϕ(x)]的表达式，只要将f (x)表达式中的字母x 换成x 0或ϕ(x)，再进行计算整理即得所求。
（2）若已知f[ϕ(x)]的表达式，要求f (x)的表达式，一般可令ϕ(x)=t ，从中解出x=)(t ψ，将ϕ(x)=t 及x=)(t ψ代入原表达式可得关于变量t 的函数表达式，再将字母t 换成x ，即得函数f(x)的表达式。
（3）若求分段函数在某点x 0处的函数值，要先判断x 0在哪个分段区间，再用相应的表达式求出函数值。
3、反函数的求法例1 设y=1+lg(x+2)，求它的反函数。
解 因为y-1=lg(x+2)所以x+2=10y-1即x=10y-1-2 ∴所求的反函数为y=10x-1-2 ，),(∝+<∝<-x例2 求函数y=22553x -- )50(≤<x 的反函数解 由y=22553x --得35-y=225x -2292525y x -=⇒因为50≤<x 故2293592525y y x -=-=所以 所求的反函数为2935x y -=)03(≤≤-x 小 结求函数y=f(x)的反函数的基本方法为： 第一步 由y=f(x)解出x=ϕ(y)；第二步 把x=ϕ(y)中的字母x 换成y ，y 换成x ，得y= ϕ(x), y= ϕ(x)就是函数y= f (x)的反函数。
第二步 写出反函数的定义域（它就是直接函数的值域） 4、判断函数的奇偶性例 判断下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数：(1)f(x)=sinx-cosx ； (2)f(x)=;2xx e e --(3)f(x)=3322)1()1(x x ++-解 (1) f(-x)=sin(-x)-cos(-x)=-sinx-cosx ⎩⎨⎧-≠)()(x f x f∴f(x)是非奇非偶函数(2) f(-x)=)(222)(x f e e e e e e xx x x x x -=--=-=------ ∴f(x)是奇函数.(3) f(-x)=33332222)1()1()](1[)](1[x x x x -++=-++--=f(x).∴ f(x)是偶函数。
小 结（1）判断函数f(x)的奇偶性的基本方法是先求出f(-x)的表达式，然后与f(x)的表达式相比较，若f(-x)= f(x)，则f(x)是偶函数，若f(-x)= -f(x)，则f(x)是奇函数，若f(-x)既不与f(x)相等，也不与- f(x)相等，则f(x)是非奇非偶函数。
（2）有几个结论需记住：两个奇函数的乘积是偶函数，两个偶函数的乘积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
第二章 极限与连续一、内容提要1、函数的极限（1）函数f(x)在x 0处的极限如果当x 无限地接近x 0（但不等于x 0）时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A ，则称A 为函数f(x)当x 趋于x 0时的极限。
记为lim x x →f(x)=A（2）函数f(x)当∞→x 时的极限如果当x 的绝对值无限增大时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A ，则称A 为函数f(x)当x 趋于无穷大时的极限，记为∞→x lim f(x)=A（3）单侧极限如果当x 从x 0的左侧无限趋于x 0时，对应的函数值无限地接近于某一个确定的常数A ，则称A 为函数f(x)在x 0处的左极限。
记为-→0lim x x f(x)=A 或00lim -→x x f(x)=A 或 A x f =-)0(0如果当x 从x 0的右侧无限地接近x 0时，对应的函数值无限地接近于某个确定的常数A ，则称A 为f(x)在x 0处的右极限，记为+→0lim x x f(x)=A 或00lim +→x x f(x)=A（4）极限存在的条件函数f(x)当0x x →时极限存在的充分必要条件是f(x)在x 0处的左、右极限均存在且相等，即lim x x →f(x)=A ⇔-→0lim x x f(x)= +→0lim x x f(x)=A2、极限的四则运算法则设0lim x x →f(x)=A ，0lim x x →g(x)=B ，那么lim x x →[f(x)±g(x)]=0lim x x →f(x) ±0lim x x →g(x)=A ±B;lim x x →[f(x)• g(x)]=0lim x x →f(x) •0lim x x →g(x)=A •B, 0lim x x →kf(x)=KA;limx x →)0()()(≠=B BAx g x f上述法则对∞→x 也成立。