二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()nr rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()nr r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0nn n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=， 变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

6．二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式210(x 的展开式中的常数项？练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项？ 练：若21()nx x+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n = 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

题型六：最大系数，最大项； 例：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 练：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？练：在(2nx 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？例：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？ 练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？ 题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？练：求式子31(2)x x+-的常数项？ 题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.练：610(1(1+求展开式中的常数项. 练：2*31(1)(),28,______.nx xx n N n n x+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(,,,_____.x x S x S ==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当题型十：赋值法；例：设二项式1)nx的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若 272p s +=,则n 等于多少？练：若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？ 例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为 练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则 题型十一：整除性； 例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除练习:设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12【例1】 已知772210…)21x a x a x a a x +++=-（求： ⑴ a 0 (2)a 0+1237a a a a ++++；(3)76543210a a a a a a a a -+-+-+-(5) 1357a a a a +++；(6) 0246a a a a +++． (7)017||||||a a a +++ (8)7654321765432a a a a a a a ++++++1..设(1－ax )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a (a ≠0)，则实数a ＝________.2..若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A.2nB.3n －12C.2n ＋1D.3n ＋123..(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.244.(2019·湘潭三模)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( )A.29B.29－1C.39D.39－15.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A.63B.64C.31D.326.若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．7.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x2 019＝( ) A.i B.－i C.－1＋iD.－i －18.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39 B.310 C.311D.3129.(2018·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.10(2017·全国Ⅲ卷改编)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.11..已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于()A.64B.32C.63D.318．（2014浙江）在46)1()1(y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则(3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f =A ．45 B ．60 C ．120 D ． 2109．（2014新课标1）8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ．(用数字填写答案)10．（2017浙江）已知多项式32(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a =___，5a =___．11．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为A ．4B ．5 C ．6 D ．712．（2017新课标Ⅲ）5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．8013.（2019全国III 理4）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12 B ．16 C ．2014．（2017新课标Ⅰ）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．15 B ．20 C ．30 D ．35。