反比例函数知识点归纳总结与典型例题
(一)反比例函数的概念: 知识要点:
1、一般地,形如 y =
x
k
( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意:(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数;
(2)解析式有三种常见的表达形式:
(A )y =
x
k (k ≠ 0) , (B )xy = k (k ≠ 0) (C )y=kx -1
(k ≠0) 例题讲解:有关反比例函数的解析式 (1)下列函数,① 1)2(=+y x ②. 11+=
x y ③21x y = ④.x y 21
-=⑤2
x y =-⑥13y x = ;其中是y 关
于x 的反比例函数的有:_________________。
(2)函数2
2)2(--=a x
a y 是反比例函数,则a 的值是( )
A .-1
B .-2
C .2
D .2或-2 (3)若函数1
1-=
m x y (m 是常数)是反比例函数,则m =________,解析式为________.
(4)反比例函数(0k
y k x
=
≠)
的图象经过(—2,52, n ), 求1)n 的值; 2)判断点B (24,2-
(二)反比例函数的图象和性质: 知识要点:
1、形状:图象是双曲线。
2、位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第________象限内;(2)当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
3、增减性:(1)当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________;
(2)当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。
4、变化趋势:双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交
5、对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点____________;(2)对于k 取互为相反数的两个反比例函数(如:y = x 6 和y = x
6
-)来说,它们是关于x 轴,y 轴___________。
例题讲解:
反比例函数的图象和性质:
(1)写出一个反比例函数,使它的图象经过第二、四象限 .
(2)若反比例函数
2
2
)12(--=m
x m y 的图象在第二、四象限,则m 的值是( )
A 、 -1或1;
B 、小于
1
2
的任意实数; C 、-1; D、不能确定 (3)下列函数中,当0x <时,y 随x 的增大而增大的是( ) A .34y x =-+ B .123y x =-- C .4
y x
=-
D .12y x =.
(4)已知反比例函数2
y x
-=
的图象上有两点A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),且12x x <, 则12y y -的值是( )
A .正数
B .负数
C .非正数
D .不能确定 (5)若点(1x ,1y )、(2x ,2y )和(3x ,3y )分别在反比例函数2
y x
=- 的图象上,且 1230x x x <<<,则下列判断中正确的是( )
A .123y y y <<
B .312y y y <<
C .231y y y <<
D .321y y y << (6)在反比例函数x
k y 1
+=
的图象上有两点11()x y ,和22()x y ,,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是 .
(7)老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大. 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . (三)反比例函数与面积结合题型。
知识要点:
1、反比例函数与矩形面积: 若P (x ,y )为反比例函数x
k
y =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示,过P 作PM ⊥x 轴于M ,作PN ⊥y 轴于N ,求矩形PMON 的面积.
分析:S 矩形PMON =xy x y PN PM =⋅=⋅
∵x
k
y =, ∴ xy=k, ∴ S =k .
2、反比例函数与矩形面积: 若Q (x ,y )为反比例函数x
k
y =
(k≠0)图像上的任意一点如图2所示,过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于B ),连结QO ,则所得三角形的面积为:S △QOA =2
k (或S △QOB =
2
k ).说明:以上结论与点在反比例函数图像上
的位置无关.
(1)如图3,在反比例函数x
y 6
-
=(x <0)的图象上任取一点P ,过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,那么四边形PMON 的面积为 .
P y
x
O
M N
图1
O B
y
x
A
Q
图
P
y M x 0
N
M
y
N x
O
图4
(2)反比例函数
x
k
y=的图象如图4所示,点M是该函数图象上一点,MN⊥x轴,垂足为N.如果S△MON=2,这个反比例函数的解析式为______________
(3)如图5,正比例函数(0)
y kx k
=>与反比例函数
2
y
x
=的图象相交于A、C两点,过点A作AB⊥x轴于点B,连结BC.则ΔABC的面积等于()
A.1B.2C.4D.随k的取值改变而改变.
(4)如图6,A、B是函数
2
y
x
=的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,△ABC的面积记为S,则()
A.2
S=B.4
S=C.24
S
<<D.4
S>
(5)如图7,过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数
x
y
x
y
2
4
=
-
=和的图象交于点A和点B,若点C是x轴上任意一点,连接AC、BC,则△ABC的面积为()
(四)一次函数与反比例函数
(1)一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是()
A B C D
(2)一次函数)0
(≠
+
=k
k
kx
y和反比例函数)0
(≠
=k
x
k
y在同一直角坐标系中的图象大致是( )
y
x
O
A
C
B
图6
图5 图7
(k1∙k2≠0)的图象如图所示,若y1>y2,则x的(3)一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=
取值范围是()
A、﹣2<x<0或x>1
B、﹣2<x<1
C、x<﹣2或x>1
D、x<﹣2或0<x<1
(4)正比例函数
2
x
y=和反比例函数
2
y
x
=的图象有个交点.
(5)正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y=2
k
x
(k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. (6)设函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为(a,B),则的值为
(7)如图,RtΔABO的顶点A是双曲线
k
y
x
=与直线y x m
=-+•在第二象限的交点,AB垂直x轴于B,且S △ABO
=
3
2
,则反比例函数的解析式.
(8)若反比例函数
x
k
y=与一次函数y=3x+b都经过点(1,4),则kb=________.
(9)如图,已知A (4,a),B (-2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数
y=-
x
m
的图象的交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解祈式;
(2)求△A0B的面积.
(第(7)题)
2
k
x
(10)如图,在平面直角坐标系中,直线2
k y x =+
与双曲线k
y x =在第一象限交于点A ,与x 轴交于点C ,AB ⊥x
轴,垂足为B ,且AOB S Λ=1.求:(1)求两个函数解析式; (2)求△ABC 的面积.
(11)平面直角坐标系中,直线AB 交x 轴于点A ,交y 轴于点B 且与反比例函数图象分别交于C 、D 两点,过点C 作CM ⊥x 轴于M ,AO=6,BO=3,CM=5.求直线AB 的解析式和反比例函数解析式.。