视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r



L

s

V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r

dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr

1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP

u1
u2

q
4 0r1

q
4 0r2

q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos

28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32


qxdx
Edx
xp


xp 4 0 ( x 2

R2
3
)2

4 0r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q
解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
其面积dS 2 ( R sin )( Rd ) dq dS 2R2 sind
1、电场力作功的特点 ⑴ 单个点电荷的电场

dA F dl q0 E dl q0 E cosdl
其中 cosdl dr
则
dA q0Edr
q
ra
b
rb
r dr r
a
dr c dl
cE

b
A q0 Edr
a

rb ra
qo
q
4 0r 2

E

2 or 2
r
而U
A E dl
Q
取dl

dr
U
a r
2 0r 2
r dr

2 0
lnn aa
r
ln r
A 选UA 0
aQ
对于延长线上的P点
r
1 dx
dU
4 .0 (r x)
2l
UP
l
q l cos
u
4 0
r2
r1r2 r 2
q
r2
r r1
O q
X
其中 r 2 x2 y2
l
cos x
x2 y2
u

1
4 0
(x2
px
3
y2)2
课堂练习：
已知正方形顶点有四个等量的电点荷
q 4.0109C r=5cm
① 求u0
u0

4
q1
4 0r
L
S
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
s ( E) dS 0
E 0;或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。
高斯定理的微分形式。
E 0 该矢量场有源 e 0
环路定理的微分形式。
E 0;或者rotE 0
dU
1
dx
l 4 0 r x
o
x dx
r
ln r l 4 0 r l
q ln r l
8 0l r l
Px
课堂练习 如图所示，求o点处的场强和电势
解：由迭 加原 理知
E E1 E2 E3 而E1＝ －E2 E E3＝ E3xi E3 y j
A
B E cos dl En C(常 数)
A
E大，n小；E小，则n大。
课堂练习：

由等势面确定a、b两点场强的方向,比较其大小 Eb
已知 u1 u2 u2 u3 0
Ea
b u3
2、电势梯度
a
⑴ 梯度——标量函数沿其等 值面法线方向的变化率
u2 u1
⑵ 电势梯度
r1
n
i 1
n
q1
u E dl Ei dl Ei dl
P n

i 1
ui

P
u1
i 1
u2
i 1 ri
...... un
n i 1
qi
4 0ri
P
r2 P
qnrn
3、任意带电体电场的电势
a
a
a

A1

A2

An


i
q0qi
4 0
(
1 ria

1 rib
)
⑶ 作功特点
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功 只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
静电场是保守力场
2、静电场的环路定理
⑴定理内容
q E rb
ra 0
dl

qq0
4 0
1 ( ra

1 )
dx
dx
dU

4 0r 4 0 x2 r 2
Q点的总电势
l 1 dx
l
U dU 2
ln
0 4 0 r 2 x2 2 0

q
l l2 r2 ln
4 0l
r
r
l2 r2 r
问题：若带电直线→∞，能不否能用取上无述穷方远法为得电到势结零果点？！
a
三、电势的计算
1、点E电 荷 电4场q0的r 2电r0势
q
q r0
r
q
uP P E dl r 4 0r 2 dr 4 0r
注意点：由电势函数看电势分布特征
2、点电荷系电场的电势 n
q2
E E1 E2 ....... En Ei
du dn
n

u


x
i

y
j
du dq 1 2R2 sind
4 0l 4 0
l
q sind

8 0l
rR
d
R O
l
rP
由图 l 2 R2 r 2 2Rr cos
2ldl 2rR sind
qdl du
8 0rR
r R qdl
q
u

r R 8 0rR 4 0r
dl
E
b、电场线总是指向电势降低的方向
b
if 任:U意A 相U邻B 等AB势E 面dl 之 间AB E的co电s势dl＞差0
沿场线积分，cos＝0 then : U A＞UB
U
UA
UB
E
A
B
c、电场线密集的地方，等势面也比较密集
U A UB
B E dl
由电势差定义
uAB

uA
uB

B E dl
A

q RB
RA 4 0r 2
dr

q
4 0
1 ( RA

1 RB
)
例5、计算有限长均匀带电直线中垂线上一 点Q
和延长线上一点P的电势。
已知：长度为2l，单位长度上的电量
q
2l
解：取电荷元dq=λdx
选无穷远为电势零点，则dq在Q点的电势
上节回顾
一、电场线与电通量
de E dS
二、高斯定理
e E dS或e E dS
S
S
1、定理内容
e

s
E dS

1
0
q内
2、定理的验证
3、高斯定理的微分形式
divE


E

1
0
e
§9－3 静电场的环路定理 电势
一、静电场的保守性与电势能
dl d 3
R R
1
o
R 2
x
E3x dE3x dE cos 0
y dE

E3 y dE3 y
l3
dE sin
0
dl 4 0R2
sin

0
4 0R
sind
E E3 y 2 0R
O点处的电势： U U1 U2 U3
q
4 0 R
q
u


r
4q0r 2
dr
4 0r
R
O
r＜R
rR rR
P
r＞R
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差 已知+q 、-q、RA 、RB