E dl
p
q1
r1
E2
q2
r2 P
E1
p (E1 E2 ) dl
q1 dr
r1 4 0r 2
q2 dr
r2 4 0r 2
q1 q2
40r1 40r2
对n 个点电荷
n
u
qi
i1 40ri
• 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
ua
Aa"0" q0
"0" E dl
a
中电场力作的 功。
• 电势的理解： 1.电势是标量，电势的正负由电势零点的选取而定
如 q
若 U 0
a Ob
则Ua E dl 0
a
Ub E dl 0
b
若 U0 0
0
则Ua E dl 0
a
0
Ub E dl 0
b
2. 电势的单位：伏。
1) rc
c qE dl
a
a qQ
40
(1 ra
1 rc
)
两点的电势能差：
Wa Wb
b qE dl
qQ
(1 1)
a
40 ra rb
§10.5 电势 电势差
a点电势在量值 上等于：将单
一. 电势（电势是从能的角度来描述电场分布的物理量） 位正电荷
a“零”过程
• 电势定义
ua
Wa q0
对连续分布的带电体 u
dq
V 40r
——标量积分
三.电势的计算
（1） 已知电荷分布 u
dq
方法
V 40r
（2） 已知场强分布 u p
"0" E dl
p
例 均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。
求 圆环轴线上一点的电势
解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq
dq dl
dq r
R
O
Px
du dq
§10.4 静电场的环路定理 电势能
一.静电力作功的特点
• 单个点电荷q 产生的电场中移动试验电荷q0
b
A F dl a(L)
rb
b
O
a(L) q0E dl
q
b
a(L) q0E dl cos dl cos dr
r
ra
a
b
d
40
rb ra
1 r2
dr
qq0 ( 1 1 )
力学
保守力场
引入势能
静电场
保守场
引入静电势能
三. 电势能
b
• 电势能的差
定义：q0 在电场中a、b 两点电势能
E
之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程 中电场力所作的功。
q0 a
b
Wa Wb Aab a q0E dl
• 电势能
取势能零点 W“0” = 0 q0 在电场中某点 a 的电势能：
"0"
Wa Aa"0" a q0E dl
说明
(1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。
(2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两点的差值与 零点选取无关
(3) 选势能零点原则： • 当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在 无穷远处。 • 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。 • 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
利用定义计算电势――已知 E 的分布，求U
例 ：均匀带电球面，R, q ，求电场中任一点的电势。
q
R O
E
P
q
40r 2
，r
R，方向沿半径向外
0，r R
（ r=R 时，场强值突变，不连续。）
有限大带电体 U 0
i 40 rai rbi
结论
L
a•
q1 q2
qi qn1
qn
电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力
是保守力，静电场是保守力场。
二.静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功
Aaba F dl q0E dl
b
b a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有
一带电量为q 的点电荷 求 q 在a 点和 b 点的电势能
b
解 选无穷远为电势能零点
Wa
qE dl
qQ
a
40ra
Q
c
q
Wb
qE dl
qQ
b
4 0 rb
选 C 点为电势能零点
Wa
Wb
c qE dl
qQ
(1
b
40 rb
• 电势差
uab
ua
ub
Wa q0
Wb q0
Aab q0
b E dl
a
单位正电荷自ab 过 程中电场力作的功。
• 点电荷的电势
ua a E dl
E
q
40
1 r2
r0
dl
dr
r0
q r
ua
q
40
dr r r2
q
4 0 r
a dl
二. 电势叠加原理
• 点电荷系的电势
up
静电场是无旋场
E
dl
讨论
(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验
一个电场是不是静电场。
b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a E1dl c E2dl
0
不是静电场
a
b
d
cE
(2) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。
q
1
40 x2 R2
1 )
x2 R2 x
注：和方法1相比较复杂
例 ： 均匀带电圆盘，R 求中心轴线上任一点的U
解： dU
2 rdr
1
40 (r 2 x2 ) 2
r
P
x
R
U 0
2 rdr
1
40 (r 2 x2 ) 2
2 0
R rdr
0
1
(r2 x2 )2
( R2 x2 x) 2 0
40 ra rb
(与路径无关)
• 任意带电体系产生的电场中
电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有
b b
Aab
F dl
a(L)
a(L) q0E dl
b •
b
n
a(L) q0 ( Ei ) dl
i1
n b
a(L) q0Ei dl i1
qiq0 ( 1 1 )
L1
b b
a(L1) q0E dl a(L2 ) q0E dl
L2
a
0
E dl 0 ——环路定理（场强的环流为零） L
例：由静电场的环路定理证明：静电场的 电力线不能是闭合曲线
证：反证法，设静电场的某条电力线 是闭合曲线
LE dl LE cosdl 0
与静电场的环路定理矛盾 结论： 静电场的电场线不可能是闭合的
dl
40r 40 R2 x2
up
2R
dl
0 40 R2 x2
2R 40 R2 x2
dq
r
方法II：
为势能零点
R
O
Px
UP
E dl
P
E cosdl
P
沿ox轴积分
其中：E
1
4 0
(x2
qx R2 )3/ 2
cos 1 dl dx
1
qx
q
U P x 40 (x2 R2 )3/2 dx 40 (