P



r0

2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0

2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12

1 E dS
S
0 （ S 内）

qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理



A
( E1 E 2 E n ) d l
VB VD q 4 0 R q 4 0 3 R q 4 0 R q 4 0 R 0
+q A

R
R
B
q
–q O
R
D


6 0 R
W BD q U BD
q 6 0 R
例1 电偶极子电场的电势 根据电势的叠加原理
y
P ( x, y )
电势能是标量 电势能的单位：焦耳J 电势能是属于由带电体q0和产生静电场 E 的带 电体组成的系统所共有的
W eA q0
与试验电荷无关，只取决于电场的性质
四 电势
VA
WeA q0


(0)
E dl
A
单位：J/C，称为伏特（V），即1V＝1J/C 电势是空间位置的标量函数
4 π
r
第二种计算电势的方法：
电场强度的线积分法 Va 电体的电场强度

( 0)
E dl
a
利用电场强度的线积分法求电势首先要求出带
由于电场强度的线积分与路径无关，一般选取
最简单的积分路径
使积分路径沿电场强度的方向 球对称带电体选径向 轴对称带电体选垂直于轴线
如果从场点到电势零点的积分路径中，电场强度
E
R
Q
在 r<R 的区域
R V E1 d r E 2 d r r R Q Q dr 2 R 4 r 4 0 R 0
O
均匀带电球面内各点的电势都 相等，等于球面上的电势
V
Q 4 π 0R
V 1 r
V外
V内
Q 4 π 0r Q
V V ( x, y , z )
电势是相对量，与电势零点的选择有关 电势零点的选择可以任意选择，以处理问题方便为宜
关于电势零点选择的几点注意问题：
在同一问题中电势零点的选择总是选得和电势能 零点一致
W eA

(0) A
(0) q 0 E d l q 0 E d l q 0V A
P
x
O
该圆环的面积 dS 2 π rdr
该圆环的电量 dq 2 π rdr 利用圆环的电势结果
dV dq 4 π 0 x r
2 2
R
r
dr

rdr
2 0 x
2
r
2
P点的电势是圆盘上所有圆环在该点 电势的代数和
V
x
P

R
rd r
2 0 x
2
x
r
2
0
O


2 0
五 电势的计算
点电荷电场的电势 q ˆ E er 2 4 π 0r 取无穷远作为电势零点


E
r
q0
dl
dr
V

q 4 π 0r
V
2
r
ˆ er dl
dr q


qdr 4 π 0r
2
r
4 π 0r
取无穷远作为电势零点
V
q 4 π 0r
在正电荷形成的电场中，任 一点的电势均为正，且离点 电荷越远的点，电势越低
V0 Q 4 0 R
qQ 4 0 R
Q
R
O
W O q (V V O )
例3 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面 密度为。 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点 x 处的电势 将圆盘分割成无限多个以O为同心带电圆 环，任取一半径为r，宽度为dr的圆环
A A
静电场的电场线不可能是闭合曲线 ——静电场是无旋场
保守力做的功等于其势能增量的负值 B F 保 d r ( E pB E pA ) E p
A
静电力是保守力，所以电荷在静电场有电势能 静电场力对电荷做的功就等于电荷电势能增量的负值
W AB

B A
q 0 E d l (W e B W e A ) W e
1
E
A1 B
A2 B场强的线积分与积分路径无关 E dr E dr 0 E dl
A1 B B2A
E dl 0
在静电场中，电场强度 E 沿 任意闭合路径的线积分为零
由于电场强度的线积分与积分路径无关，只取决 于积分的始末位置，因此可以选取计算最简单的 积分路径 沿电场强度的方向 B B E dl E dl Ed
rb
B

Qq
4 π 0
(
1 rA

1 rB
ra
Q
电荷在静电场中移动，电场力 所做的功只与电荷的电量以及 始末位置有关，而与路径无关
——静电力是保守力
静电力做功与路径无关——
二 静电场的环路定理

A1 B
q0 E dr E dr

A2B
q0 E dr
A
2
E 2 π 0r e
o
方向垂直于带电直线
E
r
如果仍然选无限远作为电势零点
V


E dl
r



2 π 0r
dr
r


2 π0
ln
r
电势趋向于无 穷大，无意义
选距离带电直线为r0处的A点作为电势零点 距离带电直线为r的P点的电势 A V E dl
在静电场中把试验电荷q0从A点移动到B点，静电场 力做的功就等于该电荷在AB两点电势能增量的负值
三 电势能
W AB

B A
q 0 E d l (W e B W e A ) W e
W eA
令 W eB 0

(0) A
q0 E dl
电荷在电场中某一点的电势能在量值上等于把电 荷从该点移到零势能点时电场力所做的功
0
dl
r
R
由于不论dl选在环上 什么位置，r值不变
V
4
q 4 0 r
1
dl
0


4 0 r
q
r
dl
2 R
2
V

4
0
R x
2
填空题10 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电 Q，设无穷远处为电势零点，则圆心O点的处的电势V0 = ，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到 圆心O点，则电场力做功W= 。
电荷连续分布的带电体电场的电势
把电荷连续分布的带电体分成 无限多个电荷元dq，每个电荷 元都可以看成是点电荷 根据电势的叠加原理 qi dq V 4 π 0 ri 4 π 0r
r d q
P
注意：仅当取无穷远作为电势零点才能按照上式计算 由于对电势的积分是代数积分，这比场强的矢量 积分要容易的多
例2 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上，求圆 环轴线上距环心为x处点P的电势 dl 在带电圆环上任取一线
r R x
2 2
R
元dl，该线元带电量 q dl dq dl 2 R 该线元在P点产生的电势
dV
1 4
0
dl
r
dl
r R x
2 2
dV
1 4
R
2
r
dr

(
R
rdr x x
2 2
0
r
2


2 0
R
x)
第一种计算电势的方法： 利用电势叠加原理和点电荷电势公式
q 选无限远处 点电荷电势 V 为电势零点 4 π 0r