信号分析与处理课后习题答案第五章 快速傅里叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？（2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解：分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N -1)；利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ；（1） 直接DFT 计算：复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =⨯=⨯=复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-⨯=-⨯= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+=FFT 计算：复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =⨯=⨯⨯⨯= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =⨯=⨯⨯= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2） 假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积计算过程为如下：第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ⨯第二步：计算12()()()X k X k X k =•，共需要N 次复乘运算所需时间为501024500.0512To N us us s =⨯=⨯=第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =⨯+=⨯+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。

（1）试设计用一次N 点FFT 完成计算()X k 的高效算法；（2）若已知()X k ，试设计用一次N 点IFFT 实现x(n)的2N 点IDFT 运算。

解：本题的解题思路就是DIT -FFT 思想。

（1） 分析2N 点的FFT ，如下在始于分别抽取偶数点和奇数点x(n)得到两个N 长的实序列x1(n)和x2(n);X1(n) = x(2n), n = 0,1,…, N -1 X2(n) = x(2n+1), n = 0,1,…, N -1根据DIT -FFT 的思想，只要球的x1(n)和x2(n)的N 电DFT ，再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N 点的DFT 。

因为x1(n)和x2(n)均为实序列，所以根据DFT 的共轭对称性，可以用一次N 点FFT 求得X1(k)和X2(k)。

具体方法如下：令 y(n) = x1(n) + jx2(n)Y(k) = DFT[y(n)], k = 0,1,…, N -1则 X1(k) = DFT[x1(n)] = Y ep (k) = 0.5[Y(k)+Y*(N -k)] X2(k) = DFT[jx2(n)] = Y op (k) = 0.5[Y(k)-Y*(N -k)] 2N 点得DFT[x(n)] = X(k)可由X1(k)和X2(k)得到122122()()(),0,1,,1()()(),,1,,21kN kN X k X k W X k k N X k X k W X k k N N N ⎧=+=-⎪⎨=-=+-⎪⎩ 这样，通过一次N 点FFT 计算就完成了计算2N 点DFT 。

当然由Y(k)求x1(k)和X2(k)需要相对小的额外计算量。

（2） 分析2N 点的IFFT 变换，如下与(1)相同，设X1(n),x2(n),X1(k),X2(k); n,k = 0,1,…, N -1 则应满足关系式122122()()(),0,1,,1()()()kN k N X k X k W X k k N X k N X k W X k ⎧=+=-⎪⎨+=-⎪⎩由上式可解出122()0.5[()()]()0.5[()()]kNX k X k X k N X k X k X k N W-=++=-+由以上分析可得出计算过程如下:○1由X(k)计算出X1(k)和X2(k),即 122()0.5[()()]()0.5[()()]kNX k X k X k N X k X k X k N W-=++=-+○2由X1(k)和X2(k)构成N 点频域序列Y(k) Y(k) = X 1(k) +jX 2(k) = Y ep (k) + Y op (k)其中Yep(k) = X1(k)，Yop(k) = jX2(k),进行N 点IFFT 得到()[()]Re[()]Im[()],0,1,,1y n IFFT Y k y n j y n n N ====-由DFT 的共轭对称性知12Re[()]0.5[()*()][()]()Im[()]0.5[()*()][()]()ep op y n y n y n IDFT Y k x n y n y n y n IDFT Y k jx n =+===-==○3由x1(n)和x2(n)合成x(n) 1(),2()12(),2nx n x n n x n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=⎪⎩偶奇3.请给出16点时域抽选输入倒序、输出顺序基2-FFT 完整计算流图，注意P N W 及其p 值得确定。

解：第6章 无限长冲激响应（IIR ）数字滤波器1.设系统的差分方程为()3(1)2(2)()5(1)y n y n y n x n x n +-+-=+-请画出该系统的直接型、级联型和并联型结构。

解：（1）直接-I 型结构：（2）直接-II 型结构：（3）级联型结构：111211()15115()*()132112Y z z z H z X z z z z z------++===++++-1（4）并联型结构 1134()121H z z z ---=+++2 设系统的系统函数为()()()()()11211211 3.17410.21 1.45z z z H z z zz ------++-=-++试画出该系统的级联型结构。

解：11211211 3.174()10.21 1.45z z z H z z z z ------++-=*-++3 设计一个模拟巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率3p fkHz =，通带最大衰减3pdB α=，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减50s dB α=。

求系统函数()H s 。

解：（1）求阶数N 。

lg lg sp spk N λ=-0.0032sp k ==≈332121042310s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯ 带入N 的计算公式得：lg 0.0032 4.14lg 4N =-=，所以取N =5（2）求归一化系统函数()a H p 。

由阶数N =5直接查表可得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为：()543213.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++（3）去归一化，由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()H s 。

32310/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()554233243.2361 5.2361 5.2361 3.23611ca sp cc c c c H s H p s s s s s =Ω=Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+带入c Ω的值即可。

4设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率3p f kHz =，通带最大衰减3p dB α=，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减50s dB α=。

求系统函数()H s 。

解：（1）确定滤波器技术指标：3p dB α=，32610/p p f rad s ππΩ==⨯50s dB α=，322410/s s f rad s ππΩ==⨯ 1p λ=，4ss pλΩ==Ω （2）求阶数N 和ε()()1s Arch k N Arch λ-=1316.978k -=≈ ()()316.978 3.12684Arch N Arch ==，为满足指标要求，取4N =0.9976ε==（3）求归一化系统函数()a H p ：()()()1111127.9808a NNN kk k k H p p p p p ε-====⋅--∏∏其中，极点k p 可由下式求出：()()()()2121sin cos ,1,2,3,422k k k p ch jch k N Nππξξ--⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111=0.220840.9976Arsh Arsh N ξε⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()10.2208sin 0.2208cos 0.39210.946588p ch jch j ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2330.2208sin 0.2208cos 0.94650.392188p ch jch j ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3550.2208sin 0.2208cos 0.94650.392188p ch jch j ππ⎛⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()4770.2208sin 0.2208cos 0.39210.946588p ch jch j ππ⎛⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）将()a H p 去归一化，求得实际滤波器系统函数()H s 。

()()()()4444117.98087.9808pa s p ppp k k k k H s H p s p s s =Ω===ΩΩ==-Ω-∏∏其中3610,1,2,3,4k p k k s p p k π=Ω=⨯=。

因为**4132,p p p p ==，所以**4132,s s s s ==。

将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。

带入即可得到相应结果。

5 模拟滤波器的系统函数为()2132H s s s =-+，试分别采用冲激响应不变法和双线性变换法将其转换成数字滤波器()H z 。

解：（1）冲激响应不变法（设抽样间隔为s T ） 可以求出()H s 的极点为：121,2s s ==所以()11112Ni i i A H s s s s s =-==+---∑()1121111111i s s s Nis T i T T A H z e z e z e z -=--=--=+--∑（2）双线性变换法（设抽样间隔为s T ）()()()()()()112112111122122212121213211462484621s z s T z s s ssssssH z H s z z T z T z T T T z T T z z T---=+-------==⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-++-+++=+6 假设某模拟滤波器系统函数()H s 是一个低通滤波器，并且有()()11z s z H z H s +=-=，数字滤波器()H z 的通带中心位于下面哪种情况？说明原因。