§1.7.1 定积分在几何中的应用
【学情分析】：
在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。

本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。

学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。

学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。

但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。

突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。

【教学目标】：
（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解
（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．
【教学重点】：
（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。

（2）数形结合的思想方法
【教学难点】：
利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．
那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b
[()()]d a A f x g x x =-⎰
＝
b
()d a
f x x ⎰
－
b
()d a
g x x ⎰
－
＝A y=g(x)
b
a
O
x
y
y=f(x)
我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由 1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。

师：更一般的，若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b
()()d a A f x g x x =-⎰。

但是仍然去绝对值后转化为分出()f x 和
()g x 的大小解决。

（基础题）
1. 如右图，求直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的图形面积。

解：由方程组2
23
y x y x =+⎧⎨=⎩，可得121,3x x =-=，故所求面积为 3
3
2
2311132(23)d 333S x x x x x x --⎛⎫⎡⎤=+-=+-= ⎪⎣⎦⎝
⎭⎰ 2. 如图所示，阴影部分面积是（ ） (A ) (B )2(C )
32
3
(D )
353
答案：C
解释：1
123233
132(32)d 333x x x x x x --⎛⎫
--=--= ⎪⎝⎭⎰
3. 由曲线1x y e -=和x 轴、直线0x =、3x =所围成图形的面积为
答案：31
e e
-
解释：
如图所示，3
3
3
11210
1
d x x
e S e x e e e e
----===-=
⎰ 4. 由曲线64
x y =-和x 轴所围成的图形面积为
答案：144 解释：
如图所示，曲线64
x y =
-与x 轴交点为(24,0)±，与y 轴交点为(0,6)-，
∴1
24(24)
61442
S =⨯--⨯-=
5. 由曲线ln y x =和直线2,2x y ==-所围成的图形面积为
3
2
x-1
答案：2292
2e e
--
解释：
如图所示，曲线ln y x =与2y =-的交点为2
(,2)e --，
∴2
22
2
2
2
1ln (2)d (ln 2)d 2e
e
e S x x x x x x ---⎛⎫
=--=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰
2292
2e e -- （中等题）
6. 求由曲线1sin 2y x =和1
sin 2
y x =所围成的图形在区间[]0,π上的面积。

答案：1 解释：
如图所示，001111sin sin d sin sin d 2222S x x x x x x ππ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰
112cos cos 122x x π
⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭
7. 求曲线1xy =及直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积 解释：先求交点坐标，由1
xy y x =⎧⎨=⎩
得交点(1,1)A ，
以y 为积分变量，求面积3
3
21111d ln 4ln 32S y y y y y ⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰
（难题） 8.
x ⎰
的值为（ ）
(A )2π (B )1π+ (C )π (D )以上都不对
答案：C
解释：由定积分的几何意义可知，所求的为圆224x y +=的第一象限的面积21
24S ππ=⨯⨯=
9. 在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为1
12
，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程。

解：如右图，
设切点00(,)A x y ，由'2y x =，过点A 的切线方程为0002()y y x x x -=-，
即2
002y x x x =-。

令0y =，得02x x =
，即0,02x C ⎛⎫
⎪⎝⎭。

设由曲线和过A 点的切线
及x 轴所围成的图形面积为S ，00
2
33
00
011d =33
x
x AOB S x x x x ==⎰
曲边△，
2
30000111()2224ABC x S BC AB x x x ==-=△，即：3330001111341212
S x x x =-==，∴01x =，从而切点(1,1)A ，切
线方程为21y x =-。