2．是否每一个函数都可以用解析式表示？ 提示 不是的．有些函数只能用列表法表示，有些函数只能 用图象法表示．

名师点睛 1．函数的表示法中，解析法简明全面概括了变量间的 关系，通过解析式求出任一自变量对应的函数值，为代数法研 究自变量变化规律提供了便利条件，而列表法与图象法能形象 直观地表示出函数的变化情况． 2．对于分段函数的理解，要注意以下几点： (1)不能误认为分段函数是“几个函数”，实际上一个分段 函数只是一个函数． (2)对于分段函数中的“段”，不能认为一定是等长的，实 际上完全可以不等长．
【训练2】 作出f(x)＝|x－1|－|x－2|的图象，并求其值
域． 解
－1 x≤1 f(x)＝2x－3 1＜x＜2 1 x≥2
作出 f(x)的图象，
如下图所示：
观察图象得值域为[－1,1]．
题型三 分段函数求值问题
x＋2x≤－1， 【例 3】 (14 分)已知函数 f(x)＝2x22xx－≥12＜. x＜2，
(3)画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是不是包 含在内，若端点包含在内，则用实点“·”表示，若端点不包含在 内，则用空心圆圈“°”表示.
题型一 列表法表示函数
【例 1】 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出.
x
123
f(x) 2 1 1
x
123
g(x) 3 2 1
则 f[g(1)]的值为________；当 g[f(x)]＝2 时，x＝________. [思路探索] 由已知的表格可知 f(1)，f(2)，f(3)及 g(1)，g(2)， g(3)的值．
－2x＋1，x≤－1， (2)y ＝ |x ＋ 1|＋ |x － 2|＝ 3，－1＜x≤2，
2x－1，x＞2，
其图象如图(2)
所示．
规律方法 (1)含绝对值符号的函数，先将函数解析式写成 分段函数，然后再画出其图象．(2)作图象时，应标出某些关键 点．例如：图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这 些关键点是实心点，还是空心圈．
思维突破 本题错误是对分段函数没有理解，而选择了错 误的解析式．
[正解] (1)由已知，当 x≤0 时，有 f(g(x))＝f(x2)＝(x2)2＝x4. (2)当 x＜0 时，g(f(x))＝g(－x)＝－1x. 追本溯源 对于分段函数的解析式，一定要根据自变量的取 值范围来选择解析式．
x 1234 g(x) 3 4 2 1
则 f[g(2)]＝________，若 g[f(x)]＝x，则 x＝________.
解析 由已知表格，得 g(2)＝4，所以 f[g(2)]＝f(4)＝1. 对于 g[f(x)]＝x 是否成立，可将 x＝1，x＝2，x＝3，x＝4 代入 检验． 因为 g[f(1)]＝g(3)＝2≠1，g[f(2)]＝g(2)＝4≠2， g[f(3)]＝g(1)＝3＝3，g[f(4)]＝g(1)＝3≠4. 故满足 g[f(x)]＝x 的 x＝3. 答案 1 3
解 因为g(1)＝3，所以f[g(1)]＝f(3)＝1. 因为g(2)＝2，所以应有f(x)＝2，从而x＝1，故填1,1. 答案 1 1 规律方法 列表法表示的函数，自变量与对应的函数值关 系明确，但这种对应关系不一定可以用解析式表示．
【训练1】 已知函数f(x)，g(x)由下表给出. x 1234 f(x) 3 2 1 1
x＋4 －3≤x≤0 【训练 3】 已知函数 f(x)＝x2－2x 0＜x≤4 .
－x＋2 4＜x≤5 (1)求 f(5)、f(f(5))、f(f(f(5)))； (2)作出函数的图象； (3)求函数的值域． 解 (1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3. ∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 又∵0＜1≤4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1.
自学导引 1．函数的表示方法有 解析法 、 图象法 和 列表法 ． 2．若函数在定义域中，在定义域内不同部分上，有不同的 解析表达式 ，这样的函数叫做分段函数，分段函数是由 几个部分构成的，但它表示的是一个函数． 想一想：1.一个函数的表示方法是唯一的吗？ 提示 不一定唯一，根据函数解析式画图象，根据函数图象 求解析式，就是图象法与解析式法之间的一种转换．
题型二 图象法表示函数 【例 2】 作出下列函数的图象． (1)y＝x2－2|x|； (2)y＝|x＋1|＋|x－2|.
[思路探索] 所给函数解析式含绝对值不是最简形式，因此需 先化简解析式，再根据基本初等函数图象的画法可画出函数图象．
解 (1)y＝x2－2|x|＝xx22－ ＋22xx， ，xx≥ ＜00， ， 由于 x2－2x＝(x－1)2－1，x2＋2x＝(x＋1)2－1，因此所得函数 的图象如图(1)所示．
2.1.2 函数的表示方法 第1课时 函数的表示方法
【课标要求】 1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会 选择恰当的方法表示简单情境中的函数； 2．了解简单的分段函数；能写出简单情境中的分段函数，并 能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．
【核心扫描】 1．理解函数的三种表示方法．(重点) 2．写出简单情境中的分段函数，并画出分段函数的图 象．(难点)
(1)求 f(－74)； (2)求 f(4)； (3)求 f(14)； (4)若 f(a)＝3，求 a 的值．
审题指导 本题考查分段函数的定义及应用分段函数的定义 求函数值．
【题后反思】 (1)对于分段函数求值问题要注意定义域的 区间限制．(2)求分段函数的某一自变量所对应的函数值时，应 先判定自变量所属区间，再决定用哪一个对应法则．
(2)图出函数图象如图所示． (3)由(2)画出的图象可知：函数的值域为[－3，－2)∪[－1,8]．
误区警示 对分段函数的概念理解不深刻，造成 解析式错误
【示例】 已知两个函数 f(x)＝x－2xx≥x＜00，， g(x)＝1xx＞0，
x2x≤0. (1)当 x≤0 时，求 f(g(x))的解析式； (2)当 x＜0 时，求 g(f(x))的解析式． [错解] (1)由已知，当 x≤0 时，有 f(g(x))＝f(x2)＝－x2. (2)当 x＜0 时，g(f(x))＝g(－x)＝(－x)2＝x2.