§04. 三角函数知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Zkk∈+⨯=,360|αββ②终边在x轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,180|ββ③终边在y轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Zkk∈⨯=,90|ββ⑤终边在y=x轴上的角的集合：{}Zkk∈+⨯=,45180|ββ⑥终边在xy-=轴上的角的集合：{}Zkk∈-⨯=,45180|ββ⑦若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：⑧若角α与角β的终边关于y轴对称，则角α与角β的关系：⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k180⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：90360±+=βαk2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π180°=π1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad＝π180°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝180π≈0.01745（rad）3、弧长公式：rl⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr rα==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则=αsinrx=αcos；xy=αtan；yx=αcot；xr=αsec；. αcsc5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：SIN\COS1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域16. 几个重要结论:ααtan cos =ααcot sin cos =1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ xx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六 x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=公式组一sin x ·csc x =1tan x =x xcos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2x=1βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan 2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-= 42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanx y =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈）)的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα. ⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（=T 212cos +=x y 的周期为π（如图）R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象变换法则例题讲解一．求值与化简1.基本概念与公式（正用、逆用）例1．已知锐角α终边上一点的坐标为()2323sin ,cos ,-求角α=（ ） （A ）3 （B ）3- （C ）32π- （D ）32-π例2．sin 50(1)︒⋅︒．例3．化简：︒⋅︒⋅︒80cos 40cos 20cos .例4．化简：117sin sinsin 242412πππ例5．化简：例7．求值：23)csc124cos 122︒-︒︒-．． y=|cos2x +1/2|图象例8．化简cos10(tan10sin 50︒︒︒例9．例10．若32,2π<α<π例11．求tan12tan33tan12tan33︒+︒+︒︒的值例12．求tan()tan()tan()tan()6666ππππ-θ++θ+-θ⋅+θ的值例13．求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒的值2.齐次式例1．已知,2tan =α求下列各式的值。

（1）4sin 2cos 5cos 3sin α-αα+α（2）2222sin 3cos 1sin sin cos α+α+α+αα（3）sin cos αα（4）αααα22cos 5cos sin 3sin 2--例2．已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-；（2）2cos sin sin 2++ααα3.sin cos ,sin cos θθθθ±⋅关系问题 例1．已知1sin cos ,(,)842ππθθθ=∈，求cos sin θθ-的值．例2．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.例3．已知(),51cos sin ,,0=+∈θθπθ求下列各式的值。

⑴θθcos sin ⑵θθcos sin - ⑶θθcot tan + ⑷θtan例4．已知sin cos m θ+θ=，求33sin cos θ+θ的值。

例5．已知：.33cos sin =+θθ求：θθ44cos sin +的值．4.整体代换（凑角）问题 例1．不查表，求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值：例2.已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值. 例3．已知40,434πβπαπ<<<<，53)4cos(=-απ，135)43sin(=+βπ，求)sin(βα+的值．例4．已知11tan(),tan 27αββ-==-，且()πβα,0,∈，求βα-2的值．例5．已知βα,为锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求β的值。