多种思路解决足球赛排名次问题摘要本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。
模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。
对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。
由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。
然后再确定三者的权重，分别建立判断矩阵，再求出组合权重，最终可排出最后的名次。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T可见，两种方法得出的结论是一致的，可互相验证两种模型的正确性。
题中的比较矩阵均为一致阵，所以可以推广到n 支球队的情况，而且对数据没有要求。
但是比赛场次越多，数据残缺越少，越能反映各队的真实实力。
一．问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。
（2）符号X 表示两队未曾比赛。
（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二． 模型假设1. 比赛的结果真实可靠2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数3.三． 符号说明模型一：1. j i ij T T a 表示两球队的实力之比2. ij m 为i T 与j T比赛，平均每场的净胜球数 3. A 表示判断矩阵4. A~表示辅助矩阵 模型二：1. k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3. 2C 表示因素：场均净胜球 4. 3C 表示因素：场均进球数5. A 表示准则层对目标层的判断矩阵6. i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,37. 1W 表示准则层对目标层的权重；8. 2W 表示方案层对准则层的权重；⎪⎩⎪⎨⎧==+≠≠=0a ，0的个数0行为第,,10a 且,a ~ij i i ij ij ij i m j i m j i a 9. W 表示方案层对目标层的组合权重；四． 模型建立与求解模型一：利用层次分析法中的成对比较阵排序Step1:构造判断矩阵 元素确定原则：令i=1,2, ...12；j=1,2, (12)⑴若i T 与j T 比赛时互胜场次相等，则 a. 净胜球等于0，直接令ij a =ji a =1； b. i T 净胜球多于j T ，则认为i T 胜j T 一场； ⑵i T 胜j T k 场，k>0,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤=4,941,2k k k b ijij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0,120,02,1ij ij ij ijm m m c ij a =ij b +ij cji ij a a 1=若两队无成绩，则令0a ==ji ij aStep2:构造辅助矩阵A~ 令Step3：求最大特征根和特征向量 用MATLAB 编程可得()0015.0,0996.0,0546.0,0089.0,0869.0,3867.0,0404.0,0416.0,1526.0,1853.0,0964.0,1680.0-----=WStep3：排序根据求出的最大特征向量，可得12个队的排名为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二：层次分析法层次分析法中，要确定目标层，准则层，决策层。
具体到本题，目标层为12支球队的排名，准则层为评判球队实力的因素。
根据实际情况，评判一个球队实力的因素主要有平均积分，平均净胜球数，平均进球数。
由此 可得层次分析结构图如下：1. 计算各队的场均积分，场均净胜球，场均进球数，如下表所示选优排序场均净胜球场均进球数场均积分目标层准则层决策层2. 对准则层的3个因素两两比较，采用下列的比较尺度：设这三个因素分别为1C ，2C ，3C ，我们根据经验，进行两两比较，得到三者的重要度之比为412=C C 813=C C 223=C C 由此可得判断矩阵为：148112411182A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦编程求得判断矩阵的特征根和特征向量，找出最大特征根max λ，3max =λ，将其对应的特征向量归一化，得：]0909.01818.07273.0[1=W这就是准则层3个因素的权重。
成对比较阵通常不是一致阵，但为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较的权向量，其不一致性需在一定容许范围内。
下面对判断矩阵A 作一致性检验。
一致性指标为1n--=n CI λ 将3max =λ，12=n 代入得01455.0=CI为一致性比率CR 。
1.00251.01<==RICICR 1.0<CR 时，A 的一致性在容许范围内，可以接受。
3. 分别求各队在三个准则下的权重（也就是排名）根据第一步算出的各队场均积分，场均净胜球数，场均进球数可得到以下决策层对准则层的比较矩阵：分别求其最大特征根和对应的特征向量，并将其归一化，得()0735.0,0367.0,0934.0,0778.0,0817.0,1634.0,0794.0,0367.0,0313.0,1149.0,0926.0,1184.01=w ()0622.0,0237.0,0808.0,0554.0,1011.0,2181.0,0391.0,0526.0,0,1371.0,1025.0,1274.02=w ()0569.0,0759.0,0753.0,0552.0,0803.0,1758.0,0512.0,0854.0,0539.0,1138.0,0683.0,1078.03=w T w w w W ),,(3212=所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0569.0,0759.0,0753.0,0552.0,0803.0,1758.0,0512.0,0854.0,0539.0,1138.0,0683.0,1078.00622.0,0237.0,0808.0,0554.0,1011.0,2181.0,0391.0,0526.0,0000.0,1371.0,1025.0,1274.00735.0,0367.0,0934.0,0778.0,0817.0,1634.0,0794.0,0367.0,0313.0,1149.0,0926.0,1184.02W 这就是决策层对准则层的权重。
再进行一致性检验，求其CI 分别为0.0032,0,0 0.58RI =所以一致性比率为1.00054.0RICICR 2<==组合一致性比率为1.00305.00054.00251.0CR CR CR 21<=+=+=4. 确定决策层对目标层的权重（最终排名）123222112),,(W W W W W W W T•=•=()6,0.0015546,-0.0990.0089,0.07,0.0869,-0404,0.3860.0416,-0.,-0.1525,-964,0.18530.1680,0.0W =由此得到足球队的最终排名为411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T五． 模型检验稳定性：通过改变几个比分，使比较矩阵产生变化，发现最后的排名的变化十分微小，说明本文的两个模型是稳定的。
比较尺度：在层次分析法中，每个判断矩阵的元素都是由1到9的数来标定的，掺杂了很多人为因素，而在此题中是用比分来确定的，因此更为准确，实用性更广。
通过以上分析，我们可以知道，这两个模型稳定性强，适用性广，且不受足球队数的影响，因此可以推广到n 个球队。
六． 模型评价与进一步改进本文共建立了两个模型。
第一个模型用层次分析法中的成对比较阵求解，而第二个模型用了完整的层次分析法解决问题，两种方法殊途同归，都适用于n 支球队的情况，而且稳定性强，适用性广，具有较高的实用价值。
模型缺点在于没有考虑场次的影响，而且在第二种模型中，成对比较阵中出现了负数，而这是不允许的，这在模型中没有解决。
1.场次问题：可以在计算积分时，先算出两两相比时的积分，再将其赋予不同的权重，如比了3场权重为0.6，比了两场权重为0.3，比了一场权重为0.1.2.负数问题：⑴可用两队实力之差来作为成对比矩阵中的因素，但此时求权向量的方法也就有所改变⑵也可将净胜球数转化为积分，使因素变为两个，转化的方法类似于第一个模型。
七．参考文献[ 1 ]姜启源. 《数学模型》. 高等教育出版社, 北京, 1996.[ 2 ]严蔚敏, 吴伟民. 《数据结构》. 清华大学出版社, 北京, 1992.[ 3 ]叶其孝. 《大学生数学建模竞赛辅导教材》. 湖南教育出版社, 长沙, 1993.附录：模型一中的程序：A=[1 4 8 ;1/4 1 2 ;1/8 1/2 1];%[v,d]=eig(A)%t=eig(A)B=[3 1 1/2 6 2 2 1/4 1/2 5 10 0 ;1 3 1/2 2 1 2 1 1 2 1/20 0 ;2 23 2 2 3 2 1/2 2 1/20 0 ;1/6 1/2 1/2 3 1/2 1/2 1/7 1/2 1/2 1/20 0 ;1/2 1 1/2 2 5 1/2 0 0 0 01 1/2;1/2 1/2 1/3 2 2 7 0 0 0 00 0 ;4 1 1/2 7 0 0 3 4 6 52 2 ;2 1 2 2 0 0 1/43 1/2 12 1 ;1/5 1/2 1/2 2 0 0 1/6 2 3 42 2 ;1 2 2 2 0 0 1/5 1 1/4 32 2 ;0 0 0 0 1 0 1/2 1/2 1/2 1/2 6 1/2;0 0 0 0 2 0 1/2 1 1/2 1/2 2 6];%disp('DecMatrix=B');%[WeightVector,CR]=AHPWeightVector(B);%[v,d]=eig(B)%t=eig(B)W1=[0.11837471 0.092612176 0.11494187 0.031333365 0.0367501390.079380203 0.163429806 0.081715639 0.077823197 0.093388819 0.036750139 0.073499938;0.396618228 0.125597524 0.502379646 -0.991531344 -0.418637442-0.565167776 1.385229272 0.11082302 -0.387865986 -0.11082302-0.732628129 -0.313993992;0.107842377 0.068300403 0.113833221 0.053922248 0.085374958 0.051224632 0.17577107 0.080352635 0.055242804 0.075330993 0.075887774 0.056916885 ];W2=[0.727272727 0.181818182 0.090909091];W=W2*W1。