摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。

它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名次。

文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。

文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。

文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动。

对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。

用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以n个队，T1,T2,T3….Tn为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。

这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。

关键词：竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量目录一、提出问题 (3)二、问题的重述 (4)三、模型的假设 (4)四、符号说明 (5)五、模型的建立和求解 (6)六、模型的评价与推广 (11)七、参考文献 (12)足球队排名模型一、提出问题任何一项体育竞赛都必须在“公平、公正”的原则下进行，都必须有公开的竞赛规则，足球比赛也不例外，随着足球事业的发展，评分规则也不断完善，但仍有不尽如人意之处。

附表给出的是我国12支球队字1988~1989年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。

排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1）保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。

（2）稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。

（3）能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平（4）能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。

（5）能够判断成绩表的可约性。

（6）容忍不一致现象（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。

二、问题的重述下表给出了我国12 只足球队在1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2) 把算法推广到任意N 个队的情况3) 讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明1) 12 支球队依次记作 T1,T2,··· T122) 符号 X 表示两队未曾比赛3) 数字表示两队比赛结果如T3行与T8列交叉处的数字表示T3与T8比赛了2 场T1 与T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1三、模型的假设（1）一对排在另一对之前，不能只考虑这两队的成绩，而应充分考虑这两对所有比赛场次的战绩。

（2）要充分考虑对手的强弱因素，减少球队发挥水平不正常而带来的影响，避免强队偶然输给弱队带来名次的大落，又应考虑弱队超水平发挥后名次的上升。

（3）如果两队之间由于种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就有其他队的战绩确定这两队的强弱。

（4）参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。

（5）在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面真实实力对比是以他们真实实力对比为中心的互相独立的真态分布。

五、模型的建立和求解方法一、竞赛图法（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：以n个参赛队T1,T2,T3,…,Tn为竞赛图G 的顶点，G的边集按如下算法求得：i从1到n循环，j从1到n循环。

若Ti胜Tj的场次多，则以Ti为尾Tj为头，作边（Ti，Tj）；若Tj胜Ti的场次多，则建边（Tj，Ti），若两队之间胜的场次相同，则以两队比赛进球多的一队为尾，另一头为头建边，否则不建边。

若两队之间没有比赛则不建边。

根据建边情况，可建立矩阵A=aij如下：1）aii=0；2）当i≠j时，若Ti，Tj建边，则取aij=1，aji=0；若Ti，Tj之间未建边，则aij、aji不计数则建立A的矩阵如下表所示：T 1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T10 0 1 1 1 0 0 1T20 0 1 1 1 0T31 1 0 1 1 1 0 1 1T40 0 0 0 0 0 0 0 0 0T50 0 1 0 0 0T60 0 0 1 1 0T71 1 1 0 1 1 1 1 1T81 0 1 0 0 1T90 0 1 0 0 1 1 1T101 0 1 0 0 0 1 1T110 0 0 0 0 0T121 0 0 0 1 0(2)、对i从1到n计分，其计算得分量为ai，然后再计算其二级的分量ai（2）其计算结果如下：一级得分向量：（a1，a2, a3, a4，a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12）=(4,3,7,0,1,2,8,3,4,4,0,2) 二级得分向量：（a(2)1，a(2)2, a(2)3, a(2)4，a(2)5, a(2)6, a(2)7, a(2)8, a(2)9,a(2)10, a(2)11, a(2)12）=(7,6,17,0,0,1,24,4,6,5,0,1)三级得分向量：（a（3）1,a（3）2,a（3）3, a（3）4，a（3）5, a（3）6, a（3）7, a（3）8, a（3）9, a（3）10, a（3）11, a（3）12）= (7,7,23,0,0,0,40,7,12,7,0,1)(3)、i从1到n循环，j从1 到n循环。

如果Ti 与Tj之间没有边连接，则比较ai与aj，如果ai>aj则建立（Ti ，Tj），如果ai<aj，则建立边（Tj，Ti）。

如果ai=aj，在比较a（2）i 与a（2）j，以数值大的对队为尾建边，否则Ti与Tj两队随机决定胜负并建边，从而得邻接矩阵，根据上述所示，可以得到下面的情况：1、Ti 与Tj之间建边1)、aii=0；2)、当i≠j时，若Ti，Tj建边，则取aij=1，aji=03，Ti与Tj之间为建边1）a i>a j，a ij=1；2）a i<a j，a ji=0；3）a（2）i>a（2）j，a ij=1；4）a（2）i<a（2）j，a ij=0；5）a（2）i<a（2）j,随机决定a ij=1或a ij=0 如下所示：T 1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T10 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1T20 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1T31 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1T40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0T50 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0T60 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1T71 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1T81 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1T90 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1T100 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1T110 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0T120 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0（4）经过邻接矩阵可以得到8个竞赛图G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8如下图所示：对G3求得其邻接矩阵为下图所示：T1T2T8T9T10T10 1 0 1 1T20 0 1 1 0T81 0 0 0 0T90 0 1 0 1T100 1 1 0 0 用matlab算出这个邻接矩阵的最大特征值和相应的特征向量考虑到一级和二级的得分向量，其排名顺序为：由强到弱T 7,T3,T1,T9,T10,T2,T8,T6,T12,T11,T5,T4这种排法是合理的，首先T7踢了9场比赛，8胜1平，T4踢了9场比赛，全部输掉。

所以T7排第一。

T4排最末是合理的，对T3与T1两队，他们在其他比赛中，只有与T9,T4,T5的比赛中，T1比T3稍好些，而在其余6个对的比赛中，T3的成绩都由于T1，而且在T3与T1的比赛时，在净胜球方面占了上风，因此将T3排在T1前面是合适的。

方法二、层次分析法（问题二）、把算法推广到任意N 个队的情况（一）模型的设计1)我们用wi 表现Ti对的实力的强弱，则用 w=（w1，w2，w3，…wn）为真实实力的向量，有假设可知，他也为排名的向量。

2）我们用aij 表示Ti对Tj这场比赛中，Ti对Tj的相对强弱程度，当成绩残缺是我们约定aij=0，显然有：（i）aij ≥0 （ii）aji=1/aij（iii）aii=1矩阵A=（aij ）n*n成为比赛成绩的判断矩阵；3）称判断矩阵A是一致，若对任意的1≤i，k，j≤n满足a ij *ajk=aik，则A 一致存在w，使得 A=(wi/wj)n*n称A的最大特征根§max 为主特征根，对应于§max的主特征向量w称为主特征向量，且wi>04）构造判断矩阵Ai从1到n循环，j从1 到n循环。

(1)若Ti 与Tj互胜场次相等，则（i）净胜球为0时，令aij = aji=1；（ii）Ti 净胜球多时以Ti净胜Tj一场做后续处理。

（2）若Ti 净胜Tjk场且k>0，则(i)bij=2k(1≤k≤4);(ii)mij =Ti胜Tj平均每场净胜球数；D ij =1（mij>2）,dij=0(0≤mij≤2),dij=-1(mij<0)(iii)aij =bij+dij,aji=1/aij(2)若Ti 与Tj无比赛成绩，则aij=aji=0则根据以上规则，可建立如下的判断矩阵A5)检测A的可约性，如果可约则输出可约信息后退出。

6）构造辅助矩阵Bi 从1到n 循环，j 从1 到n 循环b ij =a ij (i ≠j 且a ij ≠0)； b ij =m i +1 （i=j ，其中m i 为A 的第i计算B 的主特征根§max 主特征向量w1 利用“和法”计算，（1） 将A 的每一列向量归一化得（2）对按行求和得(3)将归一化得即为近视特征向量，（4）计算， 作为最大特征根的近似值。

7）按w 的各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次六、模型的评价与推广通过与现行的一些比较，用竞赛图法求出排名的结果，是比较简单的，但要将其推广到n的对来进行排名，是比较麻烦的，主要是在计算机上运行的结果不太明确，虽然用matlab能够将其最大特征值和特征向量算来，但结果太长，且不容易比较。