离散数学1.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：前提：,,p q r q rs ⌝∨∨⌝→ 结论：p s →.3设一阶逻辑公式((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =∃⌝∃→∃→试将G 化成与其等价的前束范式。

4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。

如果小王今天家里有事，则他不会来开会。

如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。

小张今天看到小王。

所以小王今天家里没事。

5、构造下面推理的证明前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧∃6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ↔↔→∧→=的类型。

7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(⌝P ∨(Q ↔R ))的主析取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。

8用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。

因此有些学生很有风度。

9、设A ＝{∅，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。

10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)画出R 的关系图。

(2)写出R 的关系矩阵。

(3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。

11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

（1）、证明R 是X 上的等价关系。

（2）、求出X 关于R 的商集。

12.分别画出下列各偏序集<A,R >的哈斯图,并找出A 的极大元`极小元`最大元和最小元.(1)A={a,b,c,d,e} R ={<a,d>,<a,c>,<a, b >,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}⋃I A . (2)A={a,b,c,d,e}, R ={<a, b >,<c,d>}⋃IA.14A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}为A 上的关系，利用矩阵乘法求R 的传递闭包，并画出t （R ）的关系图。

15. 设>< ,G 是群, },|{x y y x G y G x x S =∈∀∈=且对于,证明S 是G 的子群。

17 S=Q×Q,其中Q 为有理数集合，定义S 上的二元运算*，∀<a,b>,<x,y>∈S ，<a,b>*<x,y>=<ax,ay+b>,(1)求<3,4>*<1,2>.(2)已知<-1,3>*<a,b>=<-5,1>,求a,b.(3)*是可交换的吗？是可结合的吗？18. 设R 为实数集，+为普通加法，∙为普通乘法，<R ，*>是一个代数系统，*是R 上的一个二元运算，使得R y x ∈∀,，都有 x*y=x+y+x ∙y证明:<R ，*>是独异点。

19对于下有向图,(1) 写出入度序列和出度序列；(2) 写出邻接矩阵A ，第一行元素之和的含义是什么？(3) 求4A ,据此说明从A 到A 的长度为4的回路用多少？20（1)在一个无向图中有6条边,3度顶点和5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,该图有几个顶点?(2)画一棵带权为2，2，2，3，3，4，5，8的最优二叉树T ，并计算它的权W （T ）。

21已知某有向图的邻接矩阵如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011011110001004321v v v v A 试求：3v 到1v 的长度为4的有向路径的条数。

22设<G ，∙>是可交换群，H={a ∈G ｜∃k ∈N(正整数集)，使a k =e}，证明H 是G 的子群。

23.在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 前提：,,p q r q r s ⌝∨∨⌝→结论：p s →. 24.求p r q p →→∨))((的主析取范式；(2)根据主析取范式直接写出主合取范式；(3)根据主析取范式直接写出真值表。

25、构造下面推理的证明前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧∃26 A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}为A 上的关系，利用矩阵乘法求R 的传递闭包，并画出t （R ）的关系图。

27、A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1), (3,3),(3,2)},R={<(a,b),(c,d)>| (a,b),(c,d)∈A 且a+b=c+d }.(1)证明：R 是A 上的等价关系．(2)给出R 确定的对A 的划分(分类)28、翻译下列论题，并证明结论。

H1:每个中国公民在享受公民权利的同时必须履行公民义务。

H2：有些中国人没有履行公民义务。

C ：有些人不是中国公民。

30、求p r q p →→∨))((的主析取范式；(2)根据主析取范式直接写出主合取范式；(3)根据主析取范式直接写出真值表。

31．试证明若>*<,G 是群，G H ⊆，且任意的H a ∈，对每一个G x ∈，有a x x a *=*，则>*<,H 是>*<,G 的子群。

32设偏序集<A ,R >和<B ,S >，定义A ⨯B 上二元关系T :<x ,y >T <u ,v > ⇔ xRu ∧ ySv 证明T 为偏序关系.33、 集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

1、 证明R 是X 上的等价关系。

2、 求出X 关于R 的商集。

34、设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >}要求 1、写出R 的关系矩阵和关系图。

2、用矩阵运算求出R 的传递闭包。

35设一阶逻辑公式((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =∃⌝∃→∃→试将G 化成与其等价的前束范式。

36设命题A 1，A 2的真值为1，A 3，A 4真值为0，求命题)()))(((421321A A A A A A ⌝∨↔⌝∧→∨的真值。

37利用主析取范式，求公式R Q Q P ∧∧→⌝)(的类型。

38设A={1，2，3，4，5}，A 上的偏序关系为求A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界和下确界。

39. 设R 是集合A 上的一个关系.对∀a,b,c ∈A ，若<a,b>∈R 并且<a,c>∈R ，则有<b,c>∈R ，则R 称为A 上的循环关系。

试证明R 是A 上的一个等价关系的充要条件是R 是循环关系和自反关系。

40求)()(Q P P Q ∧⌝∧→的主合取范式。

42 设S={1 , 2 , 3 , 4, 6 , 8 , 12 , 24}，“≤”为S 上整除关系，问：（1）偏序集≤><,S 的Hass 图如何？（2）偏序集},{≤S 的极小元、最小元、极大元、最大元是什么? 43设一阶逻辑公式((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =∃⌝∃→∃→试将G 化成与其等价的前束范式。

44、设R 1和R 2为A 上的二元关系，证明：（R 1∩R 2）-1=R 1-1∩R 2-1 45、证明：在任何图（有向图或无向图）中，度数为奇数的顶点个数是偶数。

48、证明所有阶数为3的群均为阿贝尔群。

49、用下图中的二叉树产生一个二元前缀码。

50、设G 是n 阶m 条边无回路的无向连通图，证明m=n-151、设有向图D=<V,E>，V={v1,v2,v3,v4}，E={<v1,v2>,<v2,v1>,<v2,v4>,<v3,v4>,<v3,v4>} 请画出图D ，并给出图D 的关联矩阵，邻接矩阵和可达矩阵。

52、用推理规则证明下列推理的正确性：如果A 努力工作，那么B 或C 感到愉快，如果B 愉快，那么A 不努力工作；如果D 愉快，那么C 不愉快。

所以，如果A 努力工作，则D 不愉快。

54、给定集合A={1,2,3,4}，A 上关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}，1）画出R 的关系矩阵和关系图 2）说明R 的性质。

3）求出R 的自反闭包。

55、设R 是A 上的等价关系，定义S={<a,b>|∃c ∈A,<a,c>∈R ∧<c,b>∈R}。

证明S 也是A 上等价关系。

57.集合}36,24,12,6,3,2{=A 上的偏序关系 为整除关系。

设}12,6{=B ，}6,3,2{=C ，试求A ，B ，C 的最大元素、极大元素、下界、上确界58. 在一阶逻辑中将下列命题符号化没有不爱吃糖的人任何两个不同的人都不一样高所有的有理数是实数，某些有理数是整数，因此，某些实数是整数。