六年级奥数解析（七十）形体的等积变形[ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ]4推荐《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。
本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。
解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1【题目】：在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？【解析】：这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）：3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2【题目】：有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。
【解析】：先求出倒入甲容器的水的体积：3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深：378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。
注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1【题目】：把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？【解析】：熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和：19×5×3＋73＝628（立方厘米）用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为：628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2【题目】：在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。
【解析】：圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）：3.14×202×3＝3768（立方厘米）所求钢材的长为：3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1【题目】：有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。
【解析】：要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。
因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。
由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为：（1＋20％）：1＝6 ：5则两个圆柱的底面积比为：62：52＝36 ：25解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为：50×36/25＝72（平方厘米）则大圆柱体的高为：360÷72＝5（厘米）即小圆柱体的高也是5厘米，可以求出小圆柱体的体积为：50×5＝250（立方厘米）。
解法二：等高的两个圆柱体的体积与底面积成正比例，即它们的体积比就等于它们的底面积之比：36 ：25可以直接求出小圆柱体的体积为：360÷36/25＝250（立方厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题2【题目】：甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4 ：3，甲容器水深7厘米，乙容器水深3厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这是水深多少厘米？【解析】：当两个容器中水深相等时，容器中水的体积比就等于两个容器的底面积之比为： 4 ：3。
如果把甲容器中1厘米深的水量看作4份，则乙容器中1厘米深的水量就有3份。
甲容器中已有水量为：4×7＝28（份）乙容器中已有水量为：3×3＝9（份）假设后来注入两个容器中的水都是x份，由题意可得：（28＋x）：（9＋x）＝4 ：3解比例得：x＝48所求水的深度为：（28＋48）÷4＝19（厘米）。
等积变形练习题1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3.14分米，宽为1分米，他的高是多少？2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块（全部浸入水中），水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？7.有A.B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。
现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。
设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？8.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。
现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？9.圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？10.棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？11. 一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？12.一车箱是长方体，长4米，宽1.5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡13.一个底面周长15.7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？14.把一个体积是18㎝³的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝³？15.正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少？奇妙的“等积变形”江苏省淮安市新民路小学单广红江苏省淮安市武墩中心小学高德洋几何知识在小学阶段一向是学生学习的难点。
高年级立体图形的表面积、体积的应用问题更主让学生望而却步。
针对这种现象，迫使教者去思考: 如何在教学过程中化难为易，让学生不再惧怕数学中的几何问题。
通过实践发现，“等积变形”可以减少计算上的繁琐、扫除理解上的障碍，用数学独有的内涵点燃学生的学习热情。
下面就圆柱的表面积、体积的教学,来谈谈奇妙的“等积变形”体现的“巧”。
一、剪拼变形，化繁为简巧计算圆柱表面积的计算看似简单：只要求三个面的面积和就行了。
实际在学习过程中正确率非常低,有些学生分不清圆的周长和面积公式，在算侧面积时常会用“底面积×高”；有些学生好不容易列式正确,但面对长长的三道算式（底面积计算、侧面积计算、底面积×2+侧面积）而“望式生叹”，动笔就错；就连很优秀的学生也不容易把几道式子都做正确。
面对此景，我联想起学生五年级学习圆的面积公式推导时用“化曲为直”的方法，索性引导学生动手操作,去找出更快捷、简便的方法。
学生迫不及待地动起手来，有了惊喜的发现：S表=2r×(r+h)。
操作思考思路如下图：学会了如此解题后，大大提高了运算速度和正确率，现在的计算量只相当于原来的。
但要提醒学生注意,这只适用于圆柱的表面积是由三个面组成,遇其他情况要随机应变。
二、等积变通，移花接木巧变形圆柱表面积通过“等积变形”简化了计算。
实际，等积变形在体积计算中运用更加广泛。
如最常见的测量土豆、石块等不规则物体的体积，只要在玻璃容器中放适量的水，然后完全浸没水中只要求出上升部份水的体积即可，本文不再细细赘述。
下面举例来谈谈“移花接木”的变形方法计算有趣的饮料体积问题。
例一个饮料瓶里面饮料深10厘米，把瓶子塞紧后倒置(瓶口向下),这时上面空白部份深为2.5厘米,已知瓶子的容积是600毫升，你能算出瓶内饮料是多少毫升吗?在处理这一题时，典型的教学方法是：把600毫升的饮料按10 ：2.5进行按比例分配，其中即为饮料的体积。
可是讲解后大部分学生仍面露茫然。
笔者是这样处理的：出示此题后，用图标出题意，然后问：瓶子倒置后瓶子的大小变了没有？饮料的多少变了没有？你发现了什么？和小组同学说说发现。
学生本来对这类题就充满了好奇，马上带着问题很快进入了探讨、争论的状态中去。
一会儿，每个学生小脸争得红红，小手儿举得高高，发现：瓶子大小没变、饮料的多少也没变，那么空白的部份的容积就也是一样大了，所以把前面不规则的空白部份换成后面的规则的空白部份，这样就把不规则的饮料瓶子变成一个圆柱体了，如图：所以，用“体积÷两个高的和=底面积”，再用“底面积×10”就是饮料的体积了。
算术为600÷（10+2.5）×10=500(毫升)。
把这位同学的思路用上面的图呈现出来，很快赢得了同学们的共鸣，学生感受到图形问题原来并不可怕，通过变形后它变得那么的神奇、有趣、简单。
三、拓展变式，异中求同巧联系布鲁姆曾说过：“学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣。
”作为教师在教学中要为学生创造获得成功的机会。
勤钻研、细分析，帮助学生克服困难，获取成功。
比如在体积应用教学中，物体是否完全没入水中,会引起不同的变化效果，这时要多引导学生观察、思考、归纳，充分发挥“等积变形”的神奇功能，利用规律解决各种难题。
例有一圆柱形的玻璃容器,底面半径是10厘米,高20分米,水高8厘米,在容器中垂直放入一底面直径为8厘米，高为30厘米的圆柱形物体,这时的水高为多少厘米?这类练习学生理解起来很困难,如果我们借助媒体,将上面的问题简化成水柱的“体积变形”，并进行演示，使之形象化,可以帮助学生更清晰的明白题目所要表达的内容.如图演示后学生明白:变化前后水的体积不变，只是水柱的形状发生了变化,由左边的半径是10厘米,高是8厘米的圆柱体变成了右面的底面是空心的圆柱了。