平面2自由度并联机器人的运动学和动力学研究林协源1刘冠峰1（1.广东工业大学广州）摘要：本文面向高速高精LED电子封装设备设计了一种高速高精2自由度平面并联机构（2-PPa并联机器人）。
该机构由一个动平台和两个对称分布的完全相同的支链组成，每个支链中都有一个移动副(驱动关节)和一个由平面平行四边形组成的特殊转动动副。
首先推导出该机器人的运动学模型包括正反解；其次结合焊线机实际工艺要求提出多项机构性能指标对该机构的几何参数进行多目标优化；然后基于Euler-Lagrange 方程建立该机器人的动力学方程，最后通过算例分析两个移动副在动平台按照一定轨迹运动时其速度、加速度和驱动力的变化规律。
这些为接下来研究该机器人的动态性能和系统解耦控制等都具有重要意义。
关键词：2自由度平面并联机器人运动学动力学Kinematic and Dynamic Analysis of a PlanarTwo-degree-freedom Parallel ManipulatorLIN Xieyuan1LIU Guanfeng1（1.Guangdong University of Technology Guangzhou ）Abstract：In this paper，a type of planar 2-DOF parallel manipulator is proposed for uses in design of high- speed and high-accuracy LED packaging machines. The manipulator consists of a moving platform and two identical subchains. Each subchain is made of a prismatic joint (actuator) and a parallelogram with four passive revolute joints. We first derive the kinematic model of the manipulator. Then, we determine the optimal geometric parameters of the manipulator by solving a multi-goal optimization problem based on performance indices. We compute the dynamic equation use Euler-Lagrange formulation and use it to analyze the relationship between velocity, acceleration and driving torque of joints. This analysis is important for further study of the dynamic performance and the decoupling control methods for the manipulator.Key words:2-DOF Planar parallel manipulator Kinematics Dynamics0 前言在电子、包装和食品等轻工业场合中，机器人只需要3到4个自由度即可满足使用要求。
串联机器人由于自身具有较大的质量和惯性，很难应用到需要高速高负载能力的场合。
并联机器人很好的弥补了串联机器人这方面的不足。
所以，近年来少自由度并联机器人的研究相当热门。
其中3自由度并联机器人的研究已是相当深入[1-4]。
在Z方向只需要较小的操作位移时，末端搭载一个1或2自由度的串联机构的2自由度并联机器人相对应3或4自由度的并联机器人会显得更加经济适用。
清华大学曽提出过两种平面2-DOF并联机器人：一种是PRRRP（P表示移动副，R 表示转动副）并联机器人，其中两移动副运动方向平行，且机器人的末端姿态是可变的[5]；一种是2-PPa（Pa表示平行四边形机构）并联机器人，同样，该机器人的移动副运动方向也平行，不过其末端姿态不可变[6]。
文章[6]中的并联机器人最后应用在了立式机床上。
同样的2-PPa并联机器人，上海交通大学将其应用在高速高精度的场合#。
移动副运动方向平行的机器人在移动副移动的方向上有很好的运动性能，但在平面内的垂直移动副运动方向的方向上其运动性能便差了些，通常是通过增加两移动副间的距离来改善。
为了弥补两移动副平行的2-PPa 并联机器人在某一方向上相对较差的运动性能的不足，本文提出了一种两移动副运动方向正交的2-PPa 并联机器人，如图1所示。
图中的正方形表示末端动平台，边长为2a ；两个长方形表示移动副（即滑块），分别用q 1和q 2表示；圆圈表示转动副；连接滑块和动平台的是两平行连杆，长为l 。
图中的ωi ,μi 分别为连杆和电机驱动的单位方向矢量。
YXq u 11q u 22r2a lw 1lw 2图1 平面2-DOF 并联机器人实际构型本文将从以下几方面展开：推导出该机器人的运动学模型，并确定机器人的结构尺寸；基于Euler-Lagrange 方程建立该机器人的动力学方程；最后通过仿真观察动平台按照一定轨迹和速度曲线运动时，两个滑块的速度、加速度和受到的作用的变化情况。
1 运动学分析与参数确定1.1 运动学分析（1）求机器人的反解。
根据图1，可得封闭矢量关系:i i i i au lw u q -+=r等式两边取摸，可得：l au q i i =+--r由上式，可得其位置逆解方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧-±=-±=222221y Q x Q xl yl （1）其中a -q Q i i =，对于图1中，“±”号取“+”号。
（2）求机器人的正解。
根据（1）式，可解得其运动学正解如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1421y 1421x 22212122221221Q Q l Q Q Q Q l Q Q （2） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=1421y 1421x 22212122221221Q Q l Q Q Q Q l Q Q （3）由于压力角和实际工作的原因，取式（3）为其正解。
（3）求机器人的Jacobian 矩阵。
根据式（3）分别对Q1和Q2求偏导，可得其Jacobian 矩阵： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=21212221Q MQ 1MQ N -MQ N -Q MQ 121J （4） 式中1Q Q ·4N 22212-+=l ，22221222)Q Q (N 4N 41N M +=+=l l ）（。
1.2 机构参数优化设计 （1）机构性能指标 首先是局部条件系数（local conditioning index LCI ），其取值范围为[0,1]。
当动平台在某位置LCI 为1时表示机器人在该位置的位形各向同性，灵巧性最好和控制精度最高[7, 8]。
根据LCI 的定义max min //1σσκ=，其中max min σσ和分别表示J 的最小和最大奇异值。
图2 l=121、a=80和工作空间为100*100关于原点中心对称时时，工作空间内各点灵巧度分布图由上图可知，动平台在规定的工作空间里，在越靠近y=-x 的直线的区域，机器人的灵巧性和控制精度等越好；反之，越差。
其次是全局条件系数（global conditioning index GCI ），是将LCI 推广到整个工作空间内，可衡量机器人在整个工作空间内的灵巧性和控制精度等[9, 10]。
可根据下式：⎰⎰=WWdW dW /1κη其中W 表示机器人的工作空间；max min //1σσκ=。
最后是全局速度系数(global velocity index GVI)，其值越大越好。
由机器人的速度模型可得：∙∙∙∙=p p r r J J TTT 其中∙p 为单位输入速度。
故，由上式可得：()i λmax V max =和()i m λmin V in =，其中i λ为矩阵J J T 的特征值。
将最大和最小输出速度定义为局部速度系数（local velocity index LVI ），在这基础上，通过下式定义全局速度指数（global velocity index GVI ）⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰⎰⎰dWdW V dWdW V W W W W //min V max V m in m ax ηη 其中W 为机器人的工作空间。
（2）根据动平台的需求确定机构参数范围。
根据动平台的实际运动需求，给定动平台的工作空间为关于图1中原点中心对称的边长2a 的正方形所围面积，即X 和Y 方向的范围都是[-a,a]。
取工作空间为正方形，可由局部条件系数的说明中看出。
由式（3）可得：01422212≥-+Q Q l根据机器人结构的对称性，可得：l 2Q imax ≤ （5）将式（7）代入式（1），再结合机器人机构的对称性，可得：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤---≤≤--l l l l ）（）（）（）（12y 1212x 12 （3）优化机器人机构参数优化方程与约束条件如下所示：19.08.0200)12/(x 10060..)60log()100log(/min 321in V max 321=++≥≥≤≤-≤≤-⨯--⨯-⨯=ηηηηηηηηm l a t s a a a l f目标函数中，第一项是为了得到机器人较好的结构比例，而后两项是为了避免动平台的取值太过接近边界。
有关l 的约束是为了确保机器人的工作空间在x 和y 方向上都包含[-50,50]，同时避免杆长过长。
8.0≥η和9.0in V ≥m η是为了让机器人在整个工作空间内尽可能满足高速高精的性能要求。
21ηη、和3η为加权系数，在此分别去为0.3、0.4和0.3。
解上述方程可知其取整后的最优解为：f =-1.0251，此时l =160mm ，a =85mm 。
如下图所示。
图3 a 、l 与f 的关系图1.3 机器人模型根据给定的尺寸，设计机器人如下图所示。
图4 机器人示意图2 动力学由于该机器人是在平面内工作，可以不考虑重力因素，故其关节空间Euler-Lagrange 动力学方程为：τ=+∙∙∙∙q q q C q q D ),()(其中矩阵()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211d q D d d d 表示机器人的惯性矩阵，可通过计算整个机器人的动能获得；矩阵),(∙q q C 表示离心力和哥氏力矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∙∙∙∙∙∙∙∙22221122221211122221112122111111q c q c qc q c q c q c q c q c ，其中c ijk （i ，j ，k =1,2）是第一类Christoffelsymbols [11]，可通过下式计算得到，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=k ij j ki i kj ijk q d q d q d 21c ； 向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21τττ表示滑块受到的作用力。