1. 将 角 行x度；i-1，轴将绕其zi与-1 轴xi轴转平i
2.
沿 使
zxii--11轴轴平与移xi距轴离重d合i ，；
Ai-1
3. 沿 使两xi坐轴标平系移原距点离及Lix， 轴重合；
4. 绕 两坐xi标轴系转完全i 角重度合，．
Ai
li1 di
li
zi1 oi1
i
yi
zi
xi oi
i
li
杆件参数的定义——di和 i
确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆
件的偏移量 di，一个是杆件的回转角 i
Ai+1
d i Li和Li-1在Ai轴线上
的交点之间的距离 Ai-1
i Li和Li-1之间的夹角，
由Li-1转向Li，由右手 定则决定正负，对于 旋转关节它是个变量
解①： 1 0
0 0
Rx

0 0
cos 90 sin 90
-sin 90 cos 90
0 0
0 0
0 1
cos 90
Rw


sin
90
0

0
sin 90 cos 90
0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
cos90 0 sin 90 0
Ry


§3.3 机器人关节坐标系的建立
对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿 坐标系（xi, yi, zi），（i=1, 2, …, n），n是自由度数，再 加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。
基座坐标系 Oo 定义为0号坐标系（x0, y0, z0）,它也是机
器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可 任选，Ζ但o 轴线必须与关节1的轴线重合，位置和方向可 任选； 最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，但 必须保证 Xn与Ζn-1 垂直。
本章讲解以串联机器人为主。
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
(3.59)
即为关节变量 1, 2 ,,6 的函数。 该矩阵 描述了末端连杆坐标系{6}相对基坐标系{0} 的位姿。
于是，可求得机械手的T 变换矩阵：
nx ox ax px
yi1
i
xi1
A i1 i

R(Zi1,i )Trans (Zi1, di )Trans ( xi , li )R( xi ,i )
右乘
D-H变换矩阵
c os i
A i 1
i
=

s
in

i
0

0
sin i c os i
0
0
0 0 0 0 1 0 0 1
根据齐次变换方法和表3.1所示连杆参数， 可求得各连杆变换矩阵如下：
c1 s1 0 0
0T1


s1
0
c1 0
0 0 1 0

0
0 0 1
c2 s2 0 0
1T2


0 s2 0
0 c2
0
1 0 0
d
2

0
1

关节坐标系的建立原则
Ai+1
原点Oi：设在Li与 Ai+1轴线的交点上
Zi轴：与Ai+1关节轴 Ai-1 重合，指向任意
Xi轴：与公法线Li 重Ai轴合线，指指向向A沿i+L1轴i由线
Yi轴：按右手定则
Ai li1 di
i zi
yi
li
xi
oi
zi1 oi1
yi1
i
xi1
c 3 s 3 0 a2
2T3


s
3
0
c 3 0
0
0

1 0

0
0
0
1

c 4 s 4 0 a3
3T 4


0 s 4 0
0 c 4
0
1 0 0
d
4

0
1

c 5
4T5


0
s

0
5
s 5 0 c 5 0
• 杆件长度Li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 • 杆件扭转角αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi • 杆件偏移量 di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原点的距离 • 杆件回转角θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
§3.1.1 研究的对象
机器人在基本机构形式上分为两种:关节式串 联机器人;并联机器人.
PUMA560
Fanuc manipulator
Hexapod
这两种机器人有所不同：
串联机器人：工作空间大，灵活；刚度差，负载小， 误差累积并放大。
并联机器人：刚性好，负载大，误差不积累；工作 空间小，姿态范围不大。
1 0 0 0
0 1 0
0

0 0
0 0
1 0
di 1

1 0 0 li 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0 cos i sin i
0
0 sin i cos i
0
0 0 0 1
c os i
0
sin 90
10 0 cos90
0 0
0
0 0 1
1 0 0 0
T

Ry Rx Rw

0 0
0 1
1 0
0 0
0 0 0 1
解②：
①绕Z（w）？轴转动90º； ②绕X轴转动90º； ③绕Y轴转动90º。
验证方法 ：计算加画图
u v w
0 0 1 0 0 0 0 1
c6 s6 0 0
5T6


0 s6 0
0 c6
0
1 0 0
0 0 1
各连杆变换矩阵相乘，得PUMA 560的机械 手变换的T 矩阵：
0T6 0T1(1)1T2 (2 )2T3 (3 )3T4 (4 )4T5 (5 )5T6 (6 )
先建立 ∑0i-1 然后建立∑0i+1 最后建立 ∑0i
注意： • 由于Ai和Ai+1平行，所以公法线位置任意
• 目的：使di+1=0 使计算简便，此时di= Oi-1D
相邻关节坐标系间的齐次变换过程
——机器人运动学正解
根据上述坐标系建立原则，用下列旋转和位移我们
Ai+1
可以建立相邻的 Oi-1 和 Oi 坐标系之间的关系
操作机由一串用转动或平移 （棱柱形）关节连接的刚体 （杆件）组成
关 节
杆 件
机座上建立一个固定参考坐标 系，最后一个杆件与工具相连
关节和杆件均由底座向外顺序 排列，每个杆件最多和另外两 个杆件相联，不构成闭环。
机座
关节：
一般说来，两个杆件间是用低付相联的
只可能有6种低付关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、 圆柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋转和棱柱形关 节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所 示：
运动学逆问题---已知操作机杆件的几何参数，给定操作 机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位 姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？ 如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的 条件？
与前一次课的关系
§3.2 机器人杆件，关节和它们的参数
§3.2.1 杆件，关节
末端操作手
★由运动学的观点来看，杆件的作用在于保持其两
端关节间的结构形态不变。
★由两个参数决定，一是杆件的长度 li，一个是杆
件的扭转角 i
Ai+1
li 关节Ai轴和Ai+1轴线 公法线的长度
i 关节i轴线与i+1轴线 Ai
在垂直于 li 平面内的夹 角，有方向性,由Ai转向 Ai+1，由右手定则决定 正负
两种特殊情况
两轴相交，怎么建立坐 标系？
0i—Ai与Ai+1关节轴线的交 点；
zi
xi yi
zi - 1 oi
Zi—Ai+1轴线；
Xi—Zi和Zi-1构成的平面的 法线 Ζi-1×Ζi ；
Yi—右手定则；
Ai +1
Ai
两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？
补充总结：合成变换
只有平移合成—— 平移矩阵间可交换 绕同一个坐标系的合成旋转变换—— 绕同一个坐标系的合成旋转变换+平移变
换—— 各变换矩阵不可交换 绕不同坐标系的合成旋转变换：左右两侧
顺次写 绕不同坐标系的合成旋转变换+平移：左右
两侧顺次写，平移放左边
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系
旋转 球形
棱柱形
柱形
螺旋形
平面