MALTHUS人口模型
一、摘要
以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。
13亿是一个忧虑的数字。
13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。
平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4……
中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。
当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。
（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。
（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。
人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。
在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。
对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。
政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。
我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。
长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。
随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。
我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划的重要依据。
我们根据人口预测的重要意义及其特点，并采用了英国人口学家马尔萨斯提出的预测人口的指数增长模型（MALTHUS模型），合理的建立了中国人口发展MALTHUS模型并对中国未来人口进行了初步预测，进而对中国未来人口和经济发展做出合理的规划。
二、问题提出
我国是世界上人口最多的国家，故人口问题是我国最严重的问题。
我们通过历年中国人口数量的数据，并采用了英国人口学家马尔萨斯提出的预测人口的指数增长模型（MALTHUS模型），建立合理的数学模型来解决下列问题：
1．建立数学模型寻找出往年人口增长规律；
2．根据目前我国的国情与政策，预测未来中国人口将增长到哪个数据；
3．根据对未来人口的预测数据，结合当今社会的发展趋势，提出有利于发展中国特色社会主义现代化的合理的人口和经济的发展规划。
三、符号说明
1 . 设时刻t的人口为X（t）；
2. 净增长率为r；
3. 把X（t）当作连续的，可微的的函数。
四、模型的建立与求解
模型假设
1. 假设附件中所给数据真实可靠且具有预测性；
2. 不考虑国内外的人口迁移对我国人口的影响；
3. 不考虑香港、台湾以及澳门人口；
4. 假设在社会稳定的前提下，生育和死亡率都比较稳定。
建立模型
按照Malthus的理论,在t到t+Δt时间内人口的增长量为: ｛X(t+Δt)-X(t)｝/Δt=rX(t)t
令Δt 0,则得到微分方程
dX/dt=rX 1式
X(0)=X
2 式
模型求解
解微分方程1，得 X(t)=X0*exp(r*t)
r>0 X(t)→+∞人口将按指数规律无限增长
r=0 X(t)≡X0人口将始终不变
r<0 X(t)→0 人口将按指数规律减少直至绝灭参数估计
用matlab进行数据拟合(附录)，可得
r=0.0130
X(0)=101654
模型检验
将r=0.0130 ；X（0）=101654；代入指数增长模型预测的1983
人口的指数增长模型数据matlab拟合图形：
五、模型的优缺点
优点：短期预报比较准确
缺点：不适合中长期预报
原因：预报时假设人口增长率r为常数。
没有考虑环境人口增长的制约作用。
附录：Matlab程序
x=1983：1：1998；
y=[log(103008) log(104357) log(105851) log(107507) log(109300) log(111026) log(112704) log(114333) log(115823) log(117171) log(118517) log(119850) log(121121) log(122389) log(123626) log(124810)];
p=polyfit(x,y,1)
p =
0.0130 -14.5121
X1=1982:1:1998;
Y1=[101654 103008 104357 105851 107507 109300
111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810];
Y2=polyval(p,X1);
Y3=exp(Y2);
plot(X1,Y1,':o',X1,Y3,'-*')
title('人口的指数增长模型数据拟合图')
参考文献
1，学术资料综合：我国人口增长问题（/isabel-syw/blog/static/5965485120081019844191 52/）
2，数学建模与数学试验（第三版）
3，[13] 中国数学建模网．全国大学生数学竞赛试题[EB／OL]．[2008-01—10]．http：／／www．shumo．corn．
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7 虞丽萍，人口年龄结构模型建模和预测，中国优秀硕士学位论文，2007
8国论文下载中心（/renkou/090825/11583124-2.html）。