假定净增长率等于r(1
−
x(t) xm
)，即
净增长率随着x(t)的增加而减少，当x(t)
→
xm时，净增长
率趋于零，指数模型的方程变为
dx
x
= r(1 − )x
dt
xm
初始条件为x|t=t0 = x0。
问题1：试着解出此微分方程的理论解，并画出x(t)的图像；假设xm = 20, t0 = 1990，估
计2015年中国人口数量。根据实际人口数量，修正xm，并计算出2050年人口数量；
问题2：应用此模型。假定今年在保护区内放入野生动物20只，若被精心照料，预计野
生动物增长规律满足，在t年内，其总数为
220 x=
1 + 10(0.83)t
当保护区内野生动物达到80只时，不需要精心照料，野生动物也将会进入正常的生长状态， 即其群体增长仍然符合上述表达式中的增长规律。（1）需要精心照料的期限为多少年？ （2）在这一自然保护区中，最多能供养多少只野生动物？
其它要求： 1.封面用提供给你们的word文件； 2.论文主体包括：第一节：问题简述；第二节：解决问题；第三节：总结优缺点。最好 还要参考文献。 3.论文题目和各节的题目自己定。 4.15周时交给我。 5.需要使用MATLAB解决问题，并将命令代码等放在论文最后一部分。
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人口模型
November 24, 2016
18世纪末，英国人口学家马尔萨斯对百余年的人口统计资料进行了研究，于1798年提出 人口指数增长模型。基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。设时
间t = t0时人口总数为x0，根据马尔萨斯假设，在时间t时，人口总数为x(t)，从t到t + ∆t时 间内，人口增长为
但当t → ∞时，x(t) → +∞，这是不可能的，随着人口的增长，自然资源、环境条件等
因素对人口的增长的限制越来越显著，人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当
人口增加到一定数量后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。这就需要修改指数模型。
荷兰生物学家Verhulst引入常数xm表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，并
x(t + ∆t) − x(t) = rx(t) · ∆t,
令∆t → 0，则得到微分方程 解得
dx = rx
dt x(t) = x0er(t−t0).
根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报，1990年7月1日我国国家人口总数11.6亿，
过去8年人口平均增长率为1.48%，利用这个公式，将t = 2000, t0 = 1990, r = 0.0148代入，得 到2000年我国人口总数为x(2000) = 11.6e0.0148(2000−1990) ≈ 13.45，与实际情况基本吻合。