《数学模型》实验报告
实验名称：如何预报人口的增长成绩：___________
实验日期： 2009 年 4 月 22 日
实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日
一、实验目的
预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。

二、实验内容
根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。

利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。

三、实验环境
MATLAB6.5
四、实验步骤
为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt), lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y= rt+a。

根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果
之间的图形，看结果如何。

利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下：
t=linspace(0,11,12);
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];
p=polyfit(t,log(x),1);
r=p(1)
x0=exp(p(2))
plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-')
利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下：
t=linspace(0,21,22);
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106 .5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
p=polyfit(t,log(x),1);
r=p(1)
x0=exp(p(2))
plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-')
五、实验结果
以1790年至1900年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下图为拟合的图象:
以1790年至2000年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2022/10年，x0=6.0450,下图为拟合的图象:
六、实验讨论、结论
从图形1中可知，此模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，因为+号基本上都在线上，说明拟合成功。

从图形2中可知，进入了20世纪以后，美国人口增长明显变慢，+号和曲线偏离很远，说明此模型已不在适用。

对未来预报人口有很重要的作用，比如采取措施来实行计划生育等有关问题。

七、参考资料。