函数含参数单调性问题
知识点：已知函数在区间上单调或不单调，求解参变量的范围
思路提示：
（1） 已知区间函数单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或小于等于零，先观
察导函数图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上抛物线最大值落在端点，开口向下抛物线最小值落在端点。

（2） 已知区间函数不单调，转化为导函数存在零点，且零点两侧异号。

通常利用分离变
量法求解参数变量范围
类型一：已知单调区间求参数
例1：设.13)1(2
3)(23+++-=ax x a x x f （I ）若函数)(x f 在区间（1，4）内单调递减，求a 的取值范围；
（II ）若函数a x x f =在)(处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间（1，4）内函数)(x f 的单调性.
变式：1.若函数y =3
1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.
2.设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R.
（1）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.
3.已知函数32()3
m f x x x x =+-，()m R ∈，且函数()f x 在(2,)+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范围；
4.知函数.,33)(2
3R m x x mx x f ∈-+=
（1）若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的
切线方程；
（2）设0<m ，若函数)(x f 在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m 的取值范围.
5：（安徽16）设21)(ax
e x
f x
+=，其中a 为正实数． (1)当3
4=a 时，求()f x 的极值点； (2)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围．
6：已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，()k R ∈设函数
()()()p x f x g x =+，若()p x 在区间(0,3)上不单调，求k 的取值范围；
类型二：讨论参数，求出单调性求最值
例：（江西19）设函数()f x x x ax 3211=-++232
. (1)若()f x 在(,2+∞3）上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
(2)当0＜a ＜2时，()f x 在[1，4]上的最小值为16-
3，求()f x 在该区间上的最大值．
变式：设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。

（1）讨论()f x 的单调性。

（2）若()f x 在(]01，上的最大值为
12
，求a 的值。

变式2.323()12
f x ax x =-+，其中a 0>。

（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若当x ∈11,22⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦时，f (x)0>，求a 的取值范围。

变式3：设函数f (x)ln x ax =+，（a R ∈）。

（1）当a 1=时，判断()f x 的单调性。

（2）讨论()f x 在(]01，上的最大值。

类型三：利用函数单调性证明问题
变式 ：（广州二模20）已知函数22f
(x)ln x a x ax =-+（a R ∈） （1）当a 1=时，证明函数f (x)只有一个零点；
（2）若f (x)在(1,)+∞上式减函数，求a 的取值范围。

变式（广州调研21）
已知函数()a ax x x x f -+-=233
1 (a ∈R )． (1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．。