1. 一T 字型截面的悬臂梁的尺寸及其承载如图所示。

为使梁内最大拉应力与最大压应力之比为1/2，试求：水平翼缘的宽度b 及梁横截面上的最大拉应力。

z
A
3m
F =10kN
A
50
b
50
y 1y 2
240
z
50
b
50
160
190
80
x
M
30kN·m
y
C
提示：求正应力时的单位要统一，分子单位N ，分母单位mm
解：
1). 利用形心坐标公式求翼缘宽度b
由梁的应力公式可知，梁内最大拉应力与压应力之比即为梁上下翼缘到形心轴距离之比，故可得出：1280mm,160mm y y == 由梁截面形心坐标公式，得： ()(
)190
508025*********
05019050
C b y b ⨯⨯-++⨯⨯-=
=⨯+⨯
解得：224.5mm b =
2). 求梁截面对形心轴(中性轴)的惯性矩
由平行移轴公式计算梁截面(组合)对形心轴的惯性矩
()(
)
332
12
2
64
224.5505019050224.580251212190
190501602
10510mm z z z I I I ⨯⨯=+=+⨯⨯-+
+⨯⨯-=⨯
3). 画出梁的弯矩图(左图)
由弯矩图可知，梁最大弯矩在固定端处，max 3N m 0k M =⋅ 4). 求梁的最大拉应力
由梁正应力公式得：
33max 1,max
6
3010108022.86MPa 10510t z M y I σ⨯⨯⨯===⨯(在梁上缘)
2. 图示一由16号工字钢制成的简支梁承受集中荷载F 。

在梁的截面C-C 处下边缘上，用标距20mm s =的应变仪量得纵向伸长0.008mm s =。

已知梁的跨长 1.5m,1m l a ==，弹性模量210GPa E =。

试求力F 的大小。

A
l
a
C
B
F
2l
C
x
M
4
1Fl
2
1F l-a ( ) 解：
1). 求截面C-C 处下边缘的纵向应变
由应变仪所得身长量，得纵向应变：40.00841020
c s s ε-===⨯ 2). 求截面C-C 处下边缘的应力
由胡克定律，得：942101041084MPa c c E σε-==⨯⨯⨯= 3). 画梁弯矩图
截面C-C 处弯矩：()2
c F
M l a =
- 4). 求力F 的大小
查表获取弯曲截面系数3141cm z W =
由：C c z M W σ=，可得：66
284101411047.4kN 1.51
F -⨯⨯⨯⨯==-
3. 一简支木梁受力如图所示，荷载5kN F =，距离0.7m a =，材料的许用弯曲正应力[]10MPa σ=，横截面为
3h b
=的矩形。

试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。

A
a
a F =5kN
o
B
C
F =5kN
z
h
b y
D
x
M
3.5kN·m
解：
1).求两支座约束反力
由结构和荷载的对称性，可知：5kN A B F F ==(均向上) 2).画出弯矩图
在CD 段内，有最大弯矩：max 3.5kN m M =⋅ 3). 确定梁的截面尺寸
由已知条件3h b
=，根据梁的弯曲正应力强度条件，得：
[]36max max
233.5102
1010/63M bh b
σσ⨯⨯==≤=⨯ 可得：61.5mm b ≥ 此时：3184.6mm h b ==
4. 由两根28a 号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用，如图所示。

已知该材料为Q235钢，其许用弯曲正应力
[]170MPa σ=。

试求该梁的许用荷载[]F 。

A
C B
2m
2m
2m
2m F
F
F
x M
3F 4F
3F
解：
1). 求约束反力，作出弯矩图
由结构和荷载的对称性，可知：3
2
A B F F F ==
(均向上) 由弯矩图可知，在梁的中点处，弯矩最大，max 4M F =
2).求许可载荷 根据弯曲正应力强度条件，得：
[]max 4c z z M F W W σσ=
=≤，即[]1
4
z F W σ≤ 查表获取型钢弯曲截面系数，单根28号槽钢3340.328cm z W = 代入，得许可载荷： []6611
22340.3281017010(N)
44
=28.9kN
z F W σ-≤⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯
5. 已知铸铁简支梁的641645.810mm z I =⨯,120GPa E =，许用拉应力30MPa t σ=⎡⎤⎣⎦，许用压应力90MPa c σ=⎡⎤⎣⎦。

试求：该简支梁的许用荷载[]F
A
1m F
C
B
1m
z 100
200
50
200
50
125
C
形心
z 1
解：
1). 根据平行移轴公式求截面对中性轴惯性矩
()26216
4
645.81010050220050125 255.210mm
z z I I A a =-⋅=⨯-⨯+⨯⨯⨯=⨯
2). 求梁内最大拉应力和压应力表达式
最大弯矩在梁的中点处，max (N m)2
F
M =⋅ ()max tmax 6123
max cmax 612
0.1250.125
=244.9(Pa)
2255.21010300125100.175
=342.9(Pa)2255.21010z z
M F F I M F F I σσ---⨯⨯==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
=⨯⨯⨯
3). 根据弯曲正应力强度条件确定许用荷载
由许可拉应力强度条件max t t σσ≤⎡⎤⎣⎦，得：
6t max =244.93010Pa t F σσ≤=⨯⎡⎤⎣⎦，解得：122.5kN F ≤
由许可压应力强度条件max c c σσ≤⎡⎤⎣⎦，得：
6max =342.99010Pa c c F σσ≤=⨯⎡⎤⎣⎦，解得：262.5kN F ≤
因此，梁的许可荷载[]122.5kN F =。