多边形内角和与外角和专题训练（模型）【模型一】“A字”模型求证：∠1+∠2=180°+∠A证法一：连接BC，利用“三角形内和为180°”.证法二：连接BC，利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”. 证法三：利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”.证法四：延长EA至F，利用“多边形外角和为360°”. CAB DE21CAB DE21CAB DE213 4CAB DE213F【模型二】飞镖模型求证：∠A +∠B +∠C=∠D 证法一、证明：连接BC ，证法二、连接并延长AD ，证法三、连接并延长BD ，交AC 于点E,【模型三】“8字”模型 求证：∠A +∠B=∠C+∠D 证法一、利用“三角形内角和为180°”证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和”A BC D O A B C D 12 A B C D 1 234 A B C D 1E A BC DO 1注意：“8字”模型的变式. 如图，∠1+∠2=∠C+∠D【模型四】“五角星”模型求证：∠A +∠B +∠C+∠D +∠E =180°【模型五】“角平分线”模型 1、 两条内角平分线已知：如图，∠B 、∠C 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠BPC=90°+21∠A2、两条外角平分线已知：如图，∠CBE 、∠BCF 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠P =90°-21∠ADCDEAB3、一条内角平分线和一条外角平分线已知：如图，∠ABC 、∠ACD 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠P =21∠A【模型六】“高线角平分线”模型求证：∠DCE=21（∠B -∠A ）.（其中∠B >∠A ）【模型七】“折角”模型 求证：∠1+∠2=2∠A求证：∠2-∠1=2∠A求证：∠1-∠2=2∠ABCDCABCMNA ’2 1MBA ’23D C1NAABCMNA ’ 12 3 D在“填空题”、“选择题”的客观题型中，可以直接运用模型结论解题.注意结论的准确性. 1.☆如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠B=65°，则∠ACD= °2.☆如图，∠1+∠2=260°，则∠A= °3.☆如图，∠1=25°，∠2=75°，∠C=65°，则∠D= °4. ☆如图，在△ABC 中，∠A =62°，∠1=20°，∠2=35°，则∠BDC= °5. ☆如图，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ，则∠A= °6. ☆如图，若∠A=40°，则∠P= °7. ☆如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，CE 平分∠ACB ，∠B =50°，∠A =20°,则∠DCE= ° 8. ☆如图，纸片△ABC 中，∠A =55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使C 点落在△ABC 内的C’处，则∠1+∠2= °9. ☆☆如图，∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G= °10. ☆☆如图，∠A +∠B +∠C+∠D = °11. ☆☆如图，BE 、CF 交于点O ，∠EOF =105°，则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F= °. 12. ☆☆如图，∠ABD 与∠ACB 的角平分线相交于点P ，若∠A =50°，∠D =10°，则∠P = °.D 第1题B 第2题第3题 A B C D 12 第4题C D EA B 第5题 第6题 C第7题 2 C A B C ’1 第8题 第9题第10第12题A BC105° OD E F第11题在“解答题”中，重现模型证明过程.注意方法的选择.1. ☆☆如图，在∠AMB 的两边AM 、BM 上分别取点P 、Q ，在∠AMB 内取一点N ，连接PN 、QN ，探索∠PNQ 、∠AMB 、∠MPN 、∠MQN 之间的数量关系，并证明你的结论.2. ☆☆如图，∠MON=90°，点A 、B 分别在射线PM 、PN 上，∠MAB 和∠NBA 的平分线相交于点P .点A 和点B 在运动过程中，∠P 的大小是否发生变化？请说明你的理由.3. ☆☆如图，已知AB ∥CD ，BD 平分∠ABC 交AC 于点O ，CE 平分∠DCG .若∠ACE=90°，试判断BD 与AC 的位置关系，并说明理由.A B N O M P A B C D EFA MB A M B AM B4. ☆☆在△ABC 中，内角∠ABC 、∠ACB 的平分线夹角为α，外角∠DBC 、∠ECB 的平分线夹角为β.（1）若α=110°，则∠A = °，（2）若∠A =40°，则β= °，（3）猜想α与β之间的关系，并说明理由.【探索新知】在模型的基础上探索新知，或用与探索模型类似的方法探索新知.注意的模型生成过程. 1. ☆☆如图①，则∠1+∠2+∠3+∠4 = °；如图②，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 = °； 如图③，则∠1+∠2+∠2. ☆☆（1）如图（1）,则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F J= °；（2）如图（2），则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H J=°； （3）如图（3），则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H +∠I +∠J= °.3. ☆☆☆已知：如图，在△ABC 中，BO 1、BO 2是∠ABC 的三等分线，CO 1、CO 2是∠ACB 的三等分线.（1）当∠A =60°时，∠BO 2C = °； （2）探索∠BO 1C 与∠BO 2C 之间的数量关系，并证明你的结论.1 2 3 4 ① ② ③D I (1)(2) (3)B4. ☆☆☆已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E.（1）若∠D=140°，∠E=110°，则∠A°；（2）求证：∠E=21（∠A+∠D）5. ☆☆☆☆如图，线段AB、CD交于点O，连接AD、BC，我们把形如图1的图形称为“8字形”. （1）如图（1），直接写出∠A+∠D与∠B+∠C的关系；（2）如图（2），∠DAB和∠BCD的平分线AP、CP交于点P，且分别与AB、CD交于点M、N，∠D=46°，∠B=30°. 先观察图中还有哪些“8字形”，再利用（1）的结论求∠P的度数；（3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P的度数(用含有α、β的式子表示).6. ☆☆☆☆如图，在△ABC中，将点A向下拖动，依次可以得到图1、图2、图3.分别探究图（1）、图（2）、图（3）中∠EAD、∠B、∠C、∠D与∠E之间有什么数量关系？AB CEDB C ABA（1）（2）（3）A DBCOPMNA DBCO（2）（1）7. ☆☆☆☆如图，线段AB 、CD 交于点O .将图（1）中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可以得到图（2）、图（3）、图（4）.分别探究图（2）、图（3）、图（4）中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 与∠AED 之间有什么数量关系？8. ☆☆☆☆转化是数学中的重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化简单的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题. （1）请你根据学过的知识求出下面星形中∠A +∠B +∠C+∠D +∠E 的度数； （2）若将图（1）中的星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F 的度数；（3）若再将图（2）中角进一步截去，如图（2），你能由题（2）中的方法或规律，猜想出图（3）中∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H +∠I +∠J 的度数？（直接写出结果，不需要写出解题过程）C D E AB EI （1） （2）A DBCOBC B E E （2） （3）（4） （1）10. ☆☆☆☆☆如图，四边形ABCD 中，内角∠ABC 的角平分线与外角∠DCE 的角平分线交于点F ，且∠F 为锐角.设∠A =α，∠D =β.（1） 如图①，α+β>180°，试用α、β表示∠F ；（2） 如图②，α+β<180°，请在图中画出∠F ，并试用α、β表示∠F ；（3） 一定存在∠F 吗？如有，求出∠F 的值；如不一定，指出α、β满足什么条件时，不存在∠F .9. ☆☆☆☆☆如图①，把三角形纸片ABC 折叠，使3个顶点重合于点P ，这时∠α+∠β+∠γ= °，∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 +∠6 = °.如果三角形纸片ABC 折叠后，3个顶点并不重合于点P （如图②），那么（1）中关于“∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 +∠6 ”的结论是否仍然成立？请说明理由. A B C D E F ① AB C D E ② G12 A BCDEF H I34 5 6 α β γP A’ B’ C’ ABCDEF GIH12 3 65 4 4① ②。