原非齐次方程的通解为
y
C1e2 x
C2e x
x
1 2
y' 2C1e2x C2e x 1
y(0)
0,
y(0)
1
C1
C2
1 2
0,2C1
C2
1
1
C1

1 2 ,C2
1
原方程的解为 y 1 e2x e x x 1
2
2
- 4 - 高数 A(2)(重修)
二..计算题.（每题 8 分，共 24 分）
1.设 (u, v) 具有连续偏导数, z z(x, y) 由方程 (cx az, cy bz) 0 所确定,求 z , x
z . y
解： 1(c
a
z ) x
2 (b
z ) x
0
z x
c1 a1 b 2
1(a
z y
)
2
(c
b
z ) y
0
z y
c 2 a1 b 2
L
是不过原点的正向简单
闭曲线.（8 分）
解： P(x,
y)
x2
y
y2
, Q( x,
y)
x2
x
y2
Q y 2 x2 , P x2 y 2
x ( x2 y 2 )2 y ( x2 y 2 )2
(1)当 L 不包含原点时
L
xdy x2
ydx y2
=
(
D
Q x
P )dxdy y
0
(2)当 L 包含原点时，在 L 内作以原点为圆心半径为 r 的小
3.设 F (x, y, z) 0 可确定任一变量是其余两变量的函数，则 z . x . y x y z
1.
4.曲面 x2 y 2 z2 14 上点（1,2,3）处的切平面方程为
x 2 y 3z 14 0 .
注： F ( x, y, z) x2 y 2 z2 14 , Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2z ,
解： 由四部分组成，以 1,2 ,3 分别表示位于坐标面的三
部分，另一部分以 4 表示。
显然 = 0
1
2
3
-3-
高数 A(2)(重修)
从而 yzdxdy L =
1
4
4
y(1 x y)dxdy =
1
dx
1 x
[ y(1
x)
y2
]dy
Dxy
00
=
1 1 (1 06
10.设 是母线平行于 z 轴的柱面，则 f (x, y, z)dxdy =
0
.
-1-
高数 A(2)(重修)
姓名
线
封
班级
密
学院
11.微分方程 xy y 2013 的特解为 y 2013 .
12.微分方程 y 4 y 5y 0 的通解为 e2x (C1 cos x C2 sin x) .
2(x-1)+4(y-2)+6(y-3)=0
1
x
1
y
5.交换积分次序，则 dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx .
0
x
0
y2
6.设 D 为 x2 y2 2x ，则 f ( x2 y2 )d 在极坐标下的二次积分为
D
/ 2 d 2cos f ( )d .
/ 2 0
圆 C（正向取顺时针方向），则
xdy ydx =
L x2 y2
LC C
=0+ 2 r cosd (r sin ) r sind (r cos ) 2
0
r2
四.计算曲面积分 yzdxdy ，其中 是平面 x 0, y 0, z 0 与
x y z 1所围四面体的边界曲面取外侧.（10 分）
=x³-y³+3x²+3y²-9x 的极值点为: (1,0)对应极小值:f(1,0)=-5,(-3,2)
对应极大值:f(-3,2)=31.
3.求曲面 z x2 2 y2 与 z 6 2x2 y2 所围立体的体积.
解： z x2 2 y2 , z 6 2x2 y2 x2 y 2 2
- 2 - 高数 A(2)(重修)
所求体积V
62 x2 y2
dxdy
dz 3
(2 x2 y 2 )dxdy
x22 y2
Dxy
Dxy
3 2 d 2 (2 2 )d 6 2 (2 3 )d
0
0
0
=
6
(
2
1 4
4
)}
|0
2
6
三．计算曲线积分
L
xdy x2
ydx y2
，其中
6 y
6
(1)对 P2:A=-12<0,B=0,C=-6<0, AC-B²=72>0,f(-3,2)=31 为极大值.
(2)对 P3 点: A=12>0,B=0,C=6>0, AC-B²=72>0, f(1,0)=-5 为极小
值;
(3)对 P1,P4 点,都有 AC-B²<0,故此两点不是极值点;因此:f(x,y)
昆明理工大学《高等数学》A(2)重修试卷(2013 年)
题号
一二三四
五
总分
得分
考试座位号
题
答
任课教师
得
不
学号
内
一.填空题.（每题 4 分，共 48 分）
1.设
f
(x,
y)
sin( x
cos
y) ，则
fx (0, 2 ) =
1
.
注： f x (x, y) cos(x cos y)
2.设 z x y ，则 dz yx y1dx x y ln xdy
2.求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值.
解：由
z 3x2 x z 3
y2
6x 9 ˆ 0 6 y ˆ 0
得四个驻点
y
P1(3,0), P2 (3,2), P3(1,0), P4 (1,2)
A
2z x 2
6x
6, B
2z xy
0,C
2z y 2
7.设 L 为 x2 y2 1在第一象限的弧段，则 e x2 y2 ds = 1 e .
L
2
(6,8)
8.曲线积分 xdx ydy (0,0)
50
.
注：
1 2
(x2
y2)
|(6,8)
(0,0)
9.设曲面 为 z 1 x2 y2 ，则 (x2 y2 z2 )dS = 2 .
x)3 dx =
1 (1 24
x)4
|10
1 24
五.求解微分方程： y y 2 y 2x, y(0) 0, y(0) 1（10 分）
解： r2 r 2 0 r1 2, r2 1 ,齐次方程通解: C1e2x C2e x
设原非齐次方程的特解为 y Ax B ,
A 2 Ax 2B 2x A 1, B 1 2