的值域为[a，b]，则ba＝＝kk＋＋
a＋2， b＋2.
所以 a，b 是方程 x＝k＋ x＋2的两不等实根，即等
价转化为方程 x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0 在[k，＋∞)上存在
两相异实根，
Δ>0， 所以2k＋ 2 1>k，
k2－2k＋1·k＋k2－2≥0.
解得－94<k≤－2.
[点评] 解答本题应注意以下几种转化： (1)由单调函数的定义域及值域构造方程． (2)a，b 是方程 x＝k＋ x＋2的两相异实根． (3)依据二次方程根的分布建立 k 的关系式．
第三部分 思想方法专题
第二十四讲 函数与方程思想
考情分析
• 函数与方程思想是中学数学的基本思想， 也是历年高考经久不衰的热点和重 点．函数思想，就是用运动和变化的观 点、集合与对应的思想，去分析和研究 数学问题中的数量关系，建立函数关系 或构造函数，运用函数的图象和性质去 分析问题、转化问题，从而使问题获得 解决．方程思想即将问题中的数量关系 运用数学语言转
[点评] 数列就是变量为正整数 n 的函数，函数 f(n) 单调性的研究，可通过作差法或作商法．本题先构造函数 f(n)，然后利用作商法证明其单调性．
【探究 2】 求正整数 a 的最大值，使不等式n＋1 1＋ n＋1 2＋…＋3n1＋1>a－7 对一切正整数 n 都成立．
解：令 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1(n∈N*)， 对任意的 n∈N*， f(n＋1)－f(n)＝3n1＋2＋3n1＋3＋3n1＋4－n＋1 1 ＝3n＋13n2＋23n＋4>0， 所以 f(n)在 N*上是增函数．
【探究 4】 (重庆文)函数 f(x)＝ 5＋sin4xcosx(0≤x≤2π)
的值域是( )
A．[－14，14]
B．[－13，13]
C．[－12，12]
D．[－23，23]
解析：由 y＝
sinx 得 5＋4cosx
y2＝5＋si4nc2xosx，即
1－cos2x
＝5y2＋4y2cosx，整理得 cos2x＋4y2cosx＋5y2－1＝0，将
解：∵t∈[ 2，8]，∴f(t)∈[12，3]， 原不等式可化为 m(x－2)＋(x－2)2>0 在 m∈[12，3]上 恒成立， 当 x＝2 时，不等式不成立，∴x≠2. 令 g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈[12，3]，
问题转化为 g(m)在 m∈[12，3]上恒大于 0，则 g12>0 ，解得 x>2 或 x<－1. g3>0
因此，问题转化为二次函数 f(x)＝x2－(m＋1)x＋4 在 x∈[0,3]上有两个实根，故有
Δ＝m＋12－16>0， 0<m＋2 1<3，
f0＝4>0， f3＝9－3m＋1＋4≥0.
解得 3<m≤130，
故 m 的取值范围是(3，130]．
[点评] 本题将两曲线有两个不同的交点转化为列 出的方程组有两组实数解．通过消元得到一元二次方程， 对这个方程实根的研究转化为二次函数 f(x)在[0,3]上与 x 轴有两个交点的问题，进而建立 m 的不等式组求出 m， 整个过程体现了用函数、方程、不等式的转化解决问题的 思想．
综上，f(x)＝22xx， －x1为 ，奇x为数偶数 .
类型二 利用函数的思想证明不等式
【例 2】 求证：对于一切大于 1 的正整数 n 恒有
1＋131＋15…1＋2n1－1>
1＋2n 2.
[分析] 此类问题可以看成是变量为正整数 n 的函
数，而原不等式等价于1＋131＋151＋…21n＋2n1－1>12.
3．函数的思想与方程的思想的关系 在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和 方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去 解决．对于函数 y＝f(x)，当 y＝0 时，就转化为方程 f(x) ＝0，也可以把函数 y＝f(x)看作二元方程 y－f(x)＝0，函 数与方程可相互转化．
(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； (2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min； (3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min； (4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.
【探究 3】 已知 f(t)＝log2t，t∈[ 2，8]，对于 f(t) 值域内的所有实数 m，不等式 x2＋mx＋4>2m＋4x 恒成 立，求 x 的取值范围．
又 f(1)＝1132，对一切正整数 n，f(n)>a－7 都成立的充 要条件是 1132>a－7，
所以 a<9172，故所求正整数 a 的最大值是 8.
点评：本题是构造函数解题的很好的例证．如果对数 列求和，那就是误入歧途了．本题构造函数 f(n)，通过单 调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思 想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其 性质，才能使解题思路灵活变通．
类型三 利用函数思想求解恒成立的不等式的参数 【例 3】 设 f(x)为定义在(－∞，3]上的减函数，已 知 f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)对于 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围． [分析] 由函数的单调性定义去掉函数符号 f，进而 将参数 a 与变量 x 的关系式进行分离，再转化为求函数的 最值．
考情分析
•化为方程模型加以解决．函数与方程思 想几乎渗透到中学数学的各个领域，在解 题中有着广泛的应用．
要点串讲
函数与方程思想是高中数学的一条主线，也是数学 最本质的思想之一．函数思想使常量数学进入了变量数 学，高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何 等问题都可以转化为函数与方程问题．
• 一般地，函数思想是构造函数从而利用函 数的性质解题，经常利用的性质是：单调 性、奇偶性、周期性、最大值和最小值等， 这就要求我们熟练掌握一次函数、二次函 数、幂函数、指数函数、对数函数、三角 函数的具体特性．在解题中，善于挖掘题 目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙 用函数的性质，这是应用函数思想的关 键．函数与方程问题、不等式问题和某些 代数问题在一定条件下可以相互转化．函
高频考点
类型一 利用函数的思想解决“范围”问题 【例 1】 若抛物线 y＝－x2＋mx－1 和两端点 A(0,3)，B(3,0)的线段 AB 有两个不同的交点，求 m 的取 值范围． [分析] 先将曲线的交点问题转化为方程解的问 题．进而转化为二次函数的实根分布问题，再通过解不 等式组求得范围．
求出线 段AB 的方程
点评：首先明确本题是求 x 的取值范围，这里注意另 一个变量 m，将不等式恒成立问题转化为关于 m 的一次 函数恒大于 0 的问题，因此依据一次函数的特性得以解 决．在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题 的关键．
类型四 方程思想的应用 【例 4】 对于函数 y＝f(x)，(x∈D)，若同时满足下 列条件：①f(x)在 D 内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆ D，使 f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么 y＝f(x)叫做闭 函数．若 y＝k＋ x＋2是闭函数，求实数 k 的取值范围．
答案：C
好方法好成绩
1.函数的思想 用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关 系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题获得解决．
2．方程的思想 在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉 及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数 及各量的值，或者运用方程的性质去分析、转化问题、使 问题获得解决．
[分析] 若 y＝k＋ x＋2是闭函数，∵y＝k＋ x＋2 在[－2，＋∞)上单调，设[a，b]⊆[－2，＋∞)，∴y＝k ＋ x＋2在[a，b]上的值域应为[a，b]．故可建立方程求出 k 的取值范围．
[解] y＝k＋ x＋2在 x∈[－2，＋∞)上是单调递增 的函数．
设[a，b]⊆[－2，＋∞)，则 y＝k＋ x＋2在[a，b]上
①对 x∈R 恒成立⇔a2≤t(x)min＝2.
③
令 s(x)＝1＋cos2x＋sinx＝－sinx－122＋94≤94，
②对 x∈R 恒成立⇔a2－a≥94.
④
由③④可得所求实数 a 的取值范围是－ 2
≤a≤1－2
10 .
[点评] 此类已知恒成立的不等式求参数的问题，常 见的解题思路：一是分离参数与已知范围的变化，通过求 函数最值来确定参数的取值范围；二是数形结合，寻找参 数满足的关系式，进而求出参数的取值范围．在解题过程 中注意区分以下情形：
＝
2n＋2
＝
2n＋12n＋3
42n＋n＋112－1>1(n＝2,3，…)，
∴f(n＋1)>f(n)．
即 f(n)(n＝2,3，…)是单调增函数．
又 f(2)＝1＋513＝
1465>
1664＝12，
∴当
n＝2,3，…时，恒有
1 f(n)>2.
故1＋131＋15…1＋2n1－1> 1＋2 2n(n＝2,3，…)．
利用定义域和 增减性去掉 函数符号f
→
将参数a 与变量x 的式子分离
→
求关于x 的函数 的最值
→
确定a的 取值范围
[解] 原式等价于 a＋1＋cos2x≤a2－sinx≤3，对 x ∈R 恒成立
⇔aa22－≤a3≥＋1si＋nxc，os2x＋sinx，①② 对 x∈R 恒成立． 令 t(x)＝3＋sinx，则
其视为关于 cosx 的一元二次方程，因为 0≤x≤2π，所以
－1≤cosx≤1，因此方程应该在[－1,1]上有实数根，设 t
＝cosx，令 g(t)＝t2＋4y2t＋5y2－1，由于 g(－1)＝y2≥0，
g(1)＝9y2≥0，故有－Δ≥1≤0 －2y2≤1 ，