高中数学竞赛专题一函数与方程思想
函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、
图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，
是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。

函数思想贯穿
于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并
为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热
点、重点内容。

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建
立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本
质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．
和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程
和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、
列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。

一、考点回顾
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关
求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建
立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，
化繁为简的目的。

比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，
试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二
次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．
如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一
次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，
要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围
是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归
为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的
目的
在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，
如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。

要总结、归纳运用
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