第十一专题 函数与方程思想考情动态分析：本专题的内容主要是函数思想、方程思想及其应用.函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，通过研究函数的性质，得出所需的结论.高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面：（1）具体的原始意义上的函数问题；（2）方程、不等式与函数的综合问题；（3）数列这一特殊的函数；④利用辅助函数解题.方程的思想方法，就是设出未知数.根据题中各量间的关系，列出等式，沟通未知与已知的关系，从而使问题得以解决.高考中有关方程的试题单独命题较少，主要有以下几个方面：（1）方程、函数、不等式的综合题；（2）求曲线的方程；（3）数列中方程思想的应用.对函数与方程思想的考查，集中体现在应用题、探索性问题，主要考查学生的阅读能力、应用能力、理解能力、表达能力及信息加工处理能力，命题集中体现在在知识交汇点处命制综合性问题.第一课时 函数思想与方程思想一、考点核心整合函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系的观点提出数学抽象，抽象其数学特征，建立函数关系.方程的思想就是如果变量间的关系是通过解析式表示出来的，则可以把解析式看作一个方程，通过对方程的讨论使问题得到解决.函数思想、方程思想体现了一种解决数学问题的理念——建“模”意识.所谓“模”就是一个问题的载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二个步骤是解析“模”，从而真正将实际问题化为数学问题，数学因此也成为探索大自然奥秘的工具.二、典例精讲：例1 已知函数)(x f 的定义域为}3,2,1{=A ，值域为}2,1{--=B ，则这样的函数共有________个.例2 设平面内两向量与互相垂直，且1||,2||==，又k 与t 是两个不同时为0的实数.（Ⅰ）若t )3(2-+=与b t a k y +-=垂直，求k 关于t 的函数关系式)(t f k =； （Ⅱ）试确定)(t f k =的单调区间. 例3 已知函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=. （Ⅰ）求)(x f 的定义域； （Ⅱ）求)(x f 的值域.例4 二次函数r qx px x f ++=2)(中实数、r 、q p 满足012=++++mrm q m p ，其中0>m ，求证：（Ⅰ）0)1(<+m mpf ； （Ⅱ）方程0)(=x f 在)1,0(内恒有解.三、提高训练：（一）选择题：（4）（3）（2）（1）1－1O O1－1OO1．当2π<<x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2++=的最小值为（）A、2B、32C、4D、342．设0>b，二次函数122-++=abxaxy的图象为下列之一，则a的值为（）3．设aaxxf213)(-+=在)1,1(-上存在x，使0)(=xf，则实数a的取值范围是（）A、51<a B、51>a C、51>a或1-<a D、1-<a4．设),(yxP是椭圆4422=+yx上的一个动点，定点)0,1(M，则2||PM的最大值是（）A、32B、1C、3D、95．设函数)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，若132)2(,1)1(+-=>aaff，则（）A、32<a B、32<a且1≠a C、32>a或1-<a D、321<<-a（二）填空题：6．函数kxf xx⋅++=421)(在]1,(-∞上的图象总在x轴上方，则实数k的取值范围是____________________.7．方程0sincos2=+-ax在)2,0(π上有解，那么实数a的取值范围是_____________. （三）解答题：8．已知函数⎩⎨⎧≤≤--+--≤=nxnnfnxnxxf1),1()]1([,0)(.(Ⅰ)求))((*∈Nnnf；（Ⅱ）)0)((≥aaS表示由x轴、)(xfy=与ax=所围成的图形的面积，求))(1()(*∈--NnnSnS.9．对a的哪些值，函数xaxy++=1的值域包含]1,0[？10．设函数)(xf的定义域为D，若存在Dx∈，使得)(xxfy==，则称以),(yx为坐标的点为函数图象上的不动点.（Ⅰ）若函数bxaxxf++=3)(的图象上有两个关于原点对称的不动点，求、ba满足的条件；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若8=a，记函数)(xf图象上的两个不动点分别为P、AA,/为函数)(xf的图象上的另一点，且其纵坐标3>py，求点P到直线/AA距离的最小值DCBA－1 O 1 OO1 O －1 及取得最小值时点P 的坐标；（Ⅲ）命题“若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明.第二课时 函数与方程的转化思想及应用一、考点核心整合函数式可以看作是方程，某些方程又可以看作是函数关系，在解决有关问题时，函数、方程、不等式常常相互转化.实际问题→数学问题→代数问题→方程问题，其中代数问题多是函数问题，哪里有公式，哪里就有方程，函数的研究离不开方程，不等式与方程也有着内在的联系，方程的研究以函数为基础.函数与方程思想的应用主要表现在应用题、探索题和信息题等方面.二、典例精讲：例1 已知函数x x x f sin )(=，若]2,2[21ππ-∈、xx ，且)()(21x f x f >，则下列结论中必成立的是（ ） A 、21x x > B 、021>+x x C 、21x x <D 、||||21x x >例 2 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中)(0,R 、c 、b a c b a c b a ∈=++>>.（Ⅰ）求证：两函数的图象交于不同两点、B A ； （Ⅱ）求线段AB 在x 轴上的射影11B A 的长的取值范围.例3 若抛物线12-+-=mx x y 和两端点为)0,3()3,0(、B A 的线段有两个不同的交点，求m 的取值范围.例4 已知方程02=++a ax x 在]1,0(上有解，求实数a 的取值范围.三、提高训练：（一）选择题： 1．函数)0(1≠-=x xxy 的反函数的图象大致是（ ）2．已知函数)12cos()12sin(ππ--=x x y ，则下列判断正确的是（ ）A 、此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(πB 、此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π C 、此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(πD 、此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π3．设、c 、b a 分别是方程x x x x x===+212log ,2log ,02的实数根，则（ ）A 、c b a >>B 、c a b >>C 、a c b >>D 、b a c >> 4．下列函数中既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是（ ） A 、x x f sin )(= B 、|1|)(+-=x x f C 、)(21)(x x a a x f -+=D 、x xx f +-=22ln)( 5．若0)1)(1(22=---+x y y x ，则y x A -=的最小值与最大值分别是（ ） A 、2,1-B 、1,2-C 、2,1-D 、2,2-（二）填空题：6．方程0)3lg()3lg(2=---+-x m x x 在]3,0[上有唯一解，则m 的取值范围是___________________.7．关于函数),0(||1lg)(2R x x x x x f ∈≠+=，有以下命题：①函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；②当0>x 时，)(x f 是增函数，当0<x 时，)(x f 是减函数；③函数)(x f 的最小值是2lg ；④当1>x 时，)(x f 没有反函数.其中正确的命题是________________.（注：把你认为正确命题的序号都填上） （三）解答题：8．已知]4,4[ππ-∈、y x ，R a ∈且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求)2cos(y x +的值.9．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第min 1走2m 以后每分钟比前min 1多走1m ，乙每分钟走5m .（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前min 1多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？10．设不等式)1(122->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围.。